Come si risolvono le equazioni alle differenze?

Il calcolo della risposta forzata di un sistema DLIT in risposta a un ingresso u(k), può avvenire risolvendo iterativamente l’equazione alle differenze di ordine n, oppure ricorrendo alla convoluzione discreta dell’ingresso con la risposta impulsiva del sistema.

Se quest’ultima non è disponibile, essa può essere ricavata risolvendo iterativamente l’equazione alle differenze con un ingresso u(k)=δ(k) e ingressi e uscite nulle per k<0.

Nel caso in cui le condizioni iniziali non sono nulle, è possibile ottenere y(k), data la sequenza u(k) e gli N valori dell’uscita precedenti all’istante k=0, con un procedimento del tutto simile a quello usato per la soluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti per i sistemi continui nel tempo.

Risposta forzata ed evoluzione libera del sistema

Per la linearità del sistema, si può considerare l’uscita y(k), per k≥0, come la somma della risposta forzata al segnale di ingresso a partire da -M, e dell’evoluzione libera del sistema, cioè u(k)=0 per ogni k e y(-1), y(-2), …y(-N) pari ai valori iniziali dati, cioè:

$y(k)=\sum_{i=-M}^{k}u(i)h(k-i)+y_{L}(k)$

La risposta in evoluzione libera $y_{L}(k)$ può essere calcolata con:

$y_{L}(k)-a_{1}y_{L}(k-1)-a_{2}y_{L}(k-2)-\cdots -a_{N}y_{L}(k-N)=0$

che viene denominata equazione omogenea associata.

Equazione caratteristica

La soluzione generale dell’equazione omogenea associata è costruita a partire dalle radici dell’equazione caratteristica:

$C(\lambda )=\lambda ^{N}-\lambda ^{N-1}-a_{2}\lambda ^{N-2}-\cdots -a_{N}=0$

Se p è una radice semplice dell’equazione caratteristica, è facile verificare che la sequenza $p^{k}$ soddisfa all’equazione omogenea associata.

Il caso di radici distinte

Se C(λ)=0 ha N radici distinte, la soluzione generale dell’equazione omogenea è data dalla combinazione lineare delle sequenze linearmente indipendenti $p_{i}^{k}$ , cioè:

$y_{L}(k)=\sum_{i=1}^{N}c_{i}(p_{i})^{k}$

Le costanti $c_{i}$ vanno calcolate in modo che y(k) assuma i valori dati negli istanti k=-1….-N.

Il caso di radice con molteplicità r e di radici complesse

Nel caso che la radice p abbia molteplicità r, essa contribuisce alla soluzione generale $y_{L}(k)$ con la combinazione lineare delle r sequenze linearmente indipendenti:

$k^{j}p^{k}$ dove j=0, 1, 2…r-1

Per r=3, si ottengono le sequenze $p^{k}$ , $kp^{k}$ , $k^{2}p^{k}$ .

Nel caso di radici semplici ma complesse, esse saranno a coppie complesse coniugate, dato che i coefficienti di C(λ) sono reali, e allo stesso modo anche i coefficienti c dovranno essere complessi coniugati.

Risolvere le equazioni alle differenze: esempio

$y(k)=ay(k-1)+bu(k)$

Si tratta di una equazione lineare alle differenze di ordine 1, infatti N=1, M=0.

L’equazione omogenea risulta:

$y(k)-ay(k-1)=0$

e l’equazione caratteristica:

$C(\lambda )=\lambda -a=0$

che possiede una unica radice semplice a. La soluzione generale diviene quindi:

$y_{L}(k)=ca^{k}$

Se si desidera valutare l’evoluzione libera a partire dal la condizione iniziale y(-1)=0.7, il coefficiente c deve essere calcolato in modo che:

$y_{L}(-1)=0.7=ca^{-1}$

che risulta:

$c=0.7a$

Possiamo anche procedere attraverso il calcolo della risposta impulsiva del sistema. Possiamo ricavare h(k) dall’equazione alle differenze e vale:

$h(k)=ba^{k}\delta _{-1}(k)$

dove il fattore $\delta _{-1}(k)$ serve a rendere causale h(k).

La risposta totale y(k), a partire da un valore dato di y(-1) e con ingresso generico u(k), è data da:

$y(k)=y(-1)a^{k+1}+b\sum_{i=0}^{k}a^{i}u(k-i)$

dove il secondo termine rappresenta la risposta forzata $y_{F}(k)$ del sistema.

Si consideri adesso quest’ultima con ingresso a gradino, cioè $u(k)=\delta _{-1}(k)$ :

$y_{F}(k)=b\sum_{i=0}^{k}a^{i}=b\frac{1-a^{k+1}}{1-a}$

Quando $\left| a\right|\geqslant 1$ , $y_{F}(k)$ diverge, mentre quando $\left| a\right|< 1$ esa converge al valore $\frac{b}{1-a}$ .

Per $0< a< 1$ la risposta è monotona crescente, mentre per $-1< a< 0$ la risposta è di tipo oscillatorio, come mostrato nelle figure seguenti nelle quali si è posto b=1-a.

Risolvere le equazioni alle differenze: un altro esempio

$\\y(k)-y(k-1)+y(k-2)=u(k)\\y(-1)=y(-2)=0\\u(k)=1\;k=0,1\\u(k)=0\; k\neq 0,1$

Soluzione attraverso la risposta impulsiva

Determiniamo i campioni h(k) necessari a calcolare y(k) per k=0,1,2,3,4,5. Ovvero andiamo a determinare la risposta impulsiva:

[1] $y(k)=\sum_{i=0}^{k}h(i)u(k-i)$

Per valutare i campioni h(k) poniamo in ingresso un impulso: u(0)=δ(0)=1 e risolviamo iterativamente:

$\\y(k)=y(k-1)-y(k-2)+u(k)\\h(0)=h(-1)-h(-2)+u(0)=1\\h(1)=h(0)-h(-1)+u(1)=1\\h(2)=h(1)-h(0)+u(2)=0\\h(3)=h(2)-h(1)+u(3)=-1\\h(4)=h(3)-h(2)+u(4)=-1\\h(5)=h(4)-h(3)+u(5)=0$

Soluzione iterativa e confronto con la soluzione precedente

Partendo da:

$\\y(k)=y(k-1)-y(k-2)+u(k)$

eseguiamo iterativamente il calcolo della risposta e lo confrontiamo con la soluzione precedente, ricordando [1]

$\\y(0)=h(0)u(0)=1\\y(0)=y(-1)-y(-2)+u(0)=1\\\\y(1)=h(0)u(1)+h(1)u(0)=1+1=2\\y(1)=y(0)-y(-1)+u(1)=1-0+1=2\\\\y(2)=h(0)u(2)+h(1)u(1)+h(2)u(0)=+1+0=1\\y(2)=y(1)-y(0)+u(2)=2-1+0=1\\\\y(3)=h(0)u(3)+h(1)u(2)+h(2)u(1)+h(3)u(0)=0+0+0-1=-1\\y(3)=y(2)-y(1)+u(3)=1-2+0=-1\\\\y(4)=h(0)u(4)+h(1)u(3)+h(2)u(2)+h(3)u(1)+h(4)u(0)=0+0+0-1-1=-2\\y(4)=y(3)-y(2)+u(4)=-1-1+0=-2\\\\y(5)=h(0)u(5)+h(1)u(4)+h(2)u(3)+h(3)u(2)+h(4)u(1)+h(5)u(0)=0+0+0+0-1+0=-1\\y(5)=y(4)-y(3)+u(5)=-2+1+0=-1$