Cinematica unidimensionale: il concetto di velocità istantanea

In questo articolo parleremo di cinematica (dal francese cinématique coniato da A.-M. Ampère, derivato del greco kínema “movimento”) unidimensionale. Possiamo ad esempio considerare una persona che corre lungo una strada. Quello che vogliamo fare è descrivere posizione, velocità e accelerazione di questo corridore. Ma prima di poterlo fare, abbiamo bisogno di introdurre alcuni strumenti matematici.

Il sistema di coordinate

Per definire il nostro sistema di coordinate, la prima cosa da fare è scegliere l’origine del sistema. Dato che abbiamo la libertà di scegliere l’origine dove più ci aggrada, scegliamo un punto lungo la nostra strada come origine. La seconda cosa da fare è scegliere un asse. La scelta dell’asse ci viene suggerita dall’esempio che stiamo considerando: la strada sarà il nostro asse e lo chiameremo asse x.

Inoltre, sul nostro asse andremo a individuare una direzione positiva e una unità di misura. La figura qui sotto è esplicativa.

Ma per parlare del movimento, non ci basta l’unità di misura (metro, centimetro, ovvero uno scalare) ma ci serve qualcosa che dia conto della direzione e del verso del moto: il terzo strumento che andiamo a definire, quindi, è il concetto di vettore unitario.

Supponiamo un moto dal punto P1 al punto P2: questo potrà essere completamente descritto da un vettore di modulo 1 con direzione e verso coicidenti con l’asse +x. Lo stesso potremo dire per un movimento dal punto P2 al punto P3. In questo nostro sistema di coordinate unidimendionali, dunque, questi vettori hanno tutti lo stesso modulo e direzione: ma due vettori di ugual modulo e direzione sono necessariamente uguali. Dunque tutti i punti del nostro spazio avranno associato uno stesso vettore unitario che identificheremo con $\large \vec{i}$ .

Funzione posizione e vettore posizione

Ora che abbiamo scelto un sistema di coordinate per il nostro corridore che percorre la strada, vogliamo ora descrivere la funzione posizione nel nostro sistema di coordinate rispetto all’origine che abbiamo scelto.

Il nostro corridore non è un corpo rigido, braccia e gambe si muovono durante la corsa: per questo identificheremo un punto, nel centro del corpo del corridore, che supporremo fisso.

Disegnamo un vettore che parte dall’origine fino a questo punto fisso e chiameremo questo vettore posizione $\large \vec{r}(t)$ . Ricordando che ogni punto ha una coordinata x, definiamo funzione posizione proprio x(t) che descrive come la coordinata del corridore varia nel tempo.

Dunque, il vettore posizione coincide con x(t) se non per il fatto che questo è un vettore mentre x(t) è una quantità (scalare). Per tener conto della direzione, diremo allora che $\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}$ . x(t) è la componente (il modulo) del vettore posizione $\large \vec{r}(t)$ .

La componente x(t) potrà essere positiva, se il corridore si trova a destra dell’origine, negativa se il corridore si trova a sinistra dell’origine o nulla, se il corridore si trova nell’origine.

Vettore spostamento

Ora che abbiamo descritto il vettore di posizione del corridore, proviamo a descrivere cosa succede nel tempo mentre il corridore si muove lungo la nostra strada. Supponiamo che egli abbia la posizione x(t) al tempo t e che sia in movimento. Dopo un tempo Δt, egli si troverà nella posizione x(t+Δt).

Dunque potremo descrivere il vettore spostamento come: $\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}$

$\vec{r}(t+\Delta (t)=x(t+\Delta t)\vec{i}$

$\Delta \vec{r}=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)=(x(t+\Delta t)-x(t))\vec{i}$

$\Delta \vec{r}=\Delta x \vec{i}$

dove nell’ultima espressione possiamo avere $\Delta x >0$ , $\Delta x <0$ oppure $\Delta x =0$ a seconda che il corridore si sposti verso destra, verso sinistra oppure ritorni esattamente al punto di partenza. Il termine $\Delta x$ si chiama componente del vettore spostamento $\vec{r}$ .

Velocità media

Possiamo a questo punto definire il concetto di velocità media nell’intervallo $[t,t+\Delta t]$ :

$\vec{v}_m=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i}$ dove $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ viene detta la componente della velocità media. Questa ancora potrà essere positiva, nulla o negativa a seconda del segno della quantità $\Delta x$ . La cosa importante è qui comprendere che la velocità media così definita dipende dall’intervallo di tempo $[t,t+\Delta t]$ .

Velocità istantanea

La domanda che ci poniamo adesso è come possiamo definire la velocità in un preciso istante di tempo t₁.

Come abbiamo visto, la velocità media in questo intervallo di tempo sarà:

$\vec{v}_m=\frac{x(t_{1}+\Delta t)-x(t_{1})}{\Delta t}\vec{i}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i}$ , ovvero, geometricamente, la pendenza della retta in verde disegnata nella figura precedente.

Per ottenere la velocità all’istante t₁ (velocità istantanea), dobbiamo adesso pensare di restringere l’intervallo temporale che abbiamo preso in considerazione, ovvero di prendere una quantità $\Delta t$ sempre più piccola.

Al diminuire di $\Delta t$ vediamo dalla figura che cambierà anche la velocità media, ovvero cambierà la pendenza della retta verde. Al limite, quando l’intervallo $\Delta t$ tende a zero, la velocità istantanea al tempo t₁ sarà la pendenza della retta gialla, ovvero della retta tangente alla funzione x(t) al tempo t₁.

Possiamo adesso descrivere matematicamente la velocità istantanea in un istante t qualsiasi:

$\vec{v}(t)=(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t})\vec{i}$

ma il limite tra parentesi altro non è che la derivata della funzione posizione rispetto al tempo, dunque:

$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\vec{i}$

Conclusione

La velocità istantanea in un determinato istante t^* è la derivata rispetto a t della funzione posizione x(t), calcolata per il particolare istante temporale t^*.