{"id":3590,"date":"2022-05-03T15:15:18","date_gmt":"2022-05-03T13:15:18","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=3590"},"modified":"2023-03-29T18:55:24","modified_gmt":"2023-03-29T16:55:24","slug":"come-si-risolvono-le-equazioni-alle-differenze","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/come-si-risolvono-le-equazioni-alle-differenze\/","title":{"rendered":"Come si risolvono le equazioni alle differenze?"},"content":{"rendered":"

Il calcolo della risposta forzata di un sistema DLIT<\/a> in risposta a un ingresso u(k), pu\u00f2 avvenire risolvendo iterativamente l’equazione alle differenze di ordine n, oppure ricorrendo alla convoluzione discreta dell’ingresso con la risposta impulsiva del sistema.<\/p>\n

Se quest’ultima non \u00e8 disponibile, essa pu\u00f2 essere ricavata risolvendo iterativamente l’equazione alle differenze con un ingresso u(k)=δ(k) e ingressi e uscite nulle per k<0.<\/p>\n

Nel caso in cui le condizioni iniziali non sono nulle, \u00e8 possibile ottenere y(k), data la sequenza u(k) e gli N valori dell’uscita precedenti all’istante k=0, con un procedimento del tutto simile a quello usato per la soluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti per i sistemi continui nel tempo.<\/p>\n

Risposta forzata ed evoluzione libera del sistema<\/h2>\n

Per la linearit\u00e0 del sistema, si pu\u00f2 considerare l’uscita y(k), per k≥0, come la somma della risposta forzata al segnale di ingresso a partire da -M, e dell’evoluzione libera del sistema, cio\u00e8 u(k)=0 per ogni k e y(-1), y(-2), …y(-N) pari ai valori iniziali dati, cio\u00e8:<\/p>\n

\"y(k)=\sum_{i=-M}^{k}u(i)h(k-i)+y_{L}(k)\"<\/p>\n

La risposta in evoluzione libera \"y_{L}(k)\" pu\u00f2 essere calcolata con:<\/p>\n

\"y_{L}(k)-a_{1}y_{L}(k-1)-a_{2}y_{L}(k-2)-\cdots -a_{N}y_{L}(k-N)=0\"<\/p>\n

che viene denominata equazione omogenea associata<\/strong>.<\/p>\n

Equazione caratteristica<\/h2>\n

La soluzione generale dell’equazione omogenea associata \u00e8 costruita a partire dalle radici dell’equazione caratteristica:<\/p>\n

\"C(\lambda )=\lambda ^{N}-\lambda ^{N-1}-a_{2}\lambda ^{N-2}-\cdots -a_{N}=0\"<\/p>\n

Se p \u00e8 una radice semplice dell’equazione caratteristica, \u00e8 facile verificare che la sequenza \"p^{k}\" soddisfa all’equazione omogenea associata.<\/p>\n

Il caso di radici distinte<\/h2>\n

Se C(λ)=0 ha N radici distinte, la soluzione generale dell’equazione omogenea \u00e8 data dalla combinazione lineare delle sequenze linearmente indipendenti \"p_{i}^{k}\", cio\u00e8:<\/p>\n

\"y_{L}(k)=\sum_{i=1}^{N}c_{i}(p_{i})^{k}\"<\/p>\n

Le costanti \"c_{i}\" vanno calcolate in modo che y(k) assuma i valori dati negli istanti k=-1….-N.<\/p>\n

Il caso di radice con molteplicit\u00e0 r e di radici complesse<\/h2>\n

Nel caso che la radice p abbia molteplicit\u00e0 r, essa contribuisce alla soluzione generale \"y_{L}(k)\" con la combinazione lineare delle r sequenze linearmente indipendenti:<\/p>\n

\"k^{j}p^{k}\" dove j=0, 1, 2…r-1<\/p>\n

Per r=3, si ottengono le sequenze \"p^{k}\", \"kp^{k}\", \"k^{2}p^{k}\".<\/p>\n

Nel caso di radici semplici ma complesse, esse saranno a coppie complesse coniugate, dato che i coefficienti di C(λ) sono reali, e allo stesso modo anche i coefficienti c dovranno essere complessi coniugati.<\/p>\n

Risolvere le equazioni alle differenze: esempio<\/h2>\n

\"y(k)=ay(k-1)+bu(k)\"<\/p>\n

Si tratta di una equazione lineare alle differenze di ordine 1, infatti N=1, M=0.<\/p>\n

L’equazione omogenea risulta: <\/p>\n

\"y(k)-ay(k-1)=0\"<\/p>\n

e l’equazione caratteristica:<\/p>\n

\"C(\lambda )=\lambda -a=0\"<\/p>\n

che possiede una unica radice semplice a. La soluzione generale diviene quindi:<\/p>\n

\"y_{L}(k)=ca^{k}\"<\/p>\n

Se si desidera valutare l’evoluzione libera a partire dal la condizione iniziale y(-1)=0.7, il coefficiente c deve essere calcolato in modo che:<\/p>\n

\"y_{L}(-1)=0.7=ca^{-1}\"<\/p>\n

che risulta:<\/p>\n

\"c=0.7a\"<\/p>\n

Possiamo anche procedere attraverso il calcolo della risposta impulsiva del sistema. Possiamo ricavare h(k) dall’equazione alle differenze e vale:<\/p>\n

\"h(k)=ba^{k}\delta _{-1}(k)\"<\/p>\n

dove il fattore \"\delta _{-1}(k)\" serve a rendere causale h(k).<\/p>\n

La risposta totale y(k), a partire da un valore dato di y(-1) e con ingresso generico u(k), \u00e8 data da:<\/p>\n

\"y(k)=y(-1)a^{k+1}+b\sum_{i=0}^{k}a^{i}u(k-i)\"<\/p>\n

dove il secondo termine rappresenta la risposta forzata \"y_{F}(k)\" del sistema.<\/p>\n

Si consideri adesso quest’ultima con ingresso a gradino, cio\u00e8 \"u(k)=\delta _{-1}(k)\":<\/p>\n

\"y_{F}(k)=b\sum_{i=0}^{k}a^{i}=b\frac{1-a^{k+1}}{1-a}\"<\/p>\n

Quando \"\left| a\right|\geqslant 1\", \"y_{F}(k)\" diverge, mentre quando \"\left| a\right|< 1\" esa converge al valore \"\frac{b}{1-a}\".<\/p>\n

Per \"0< a< 1\" la risposta \u00e8 monotona crescente, mentre per \"-1< a< 0\" la risposta \u00e8 di tipo oscillatorio, come mostrato nelle figure seguenti nelle quali si \u00e8 posto b=1-a.<\/p>\n

\"22\"<\/a><\/p>\n

Risolvere le equazioni alle differenze: un altro esempio<\/h2>\n

\"\\y(k)-y(k-1)+y(k-2)=u(k)\\y(-1)=y(-2)=0\\u(k)=1\;k=0,1\\u(k)=0\; k\neq 0,1 \"<\/p>\n

Soluzione attraverso la risposta impulsiva<\/h2>\n

Determiniamo i campioni h(k) necessari a calcolare y(k) per k=0,1,2,3,4,5. Ovvero andiamo a determinare la risposta impulsiva:<\/p>\n[1]\n\"y(k)=\sum_{i=0}^{k}h(i)u(k-i)\"<\/p>\n

Per valutare i campioni h(k) poniamo in ingresso un impulso: u(0)=δ(0)=1 e risolviamo iterativamente:<\/p>\n

\"\\y(k)=y(k-1)-y(k-2)+u(k)\\h(0)=h(-1)-h(-2)+u(0)=1\\h(1)=h(0)-h(-1)+u(1)=1\\h(2)=h(1)-h(0)+u(2)=0\\h(3)=h(2)-h(1)+u(3)=-1\\h(4)=h(3)-h(2)+u(4)=-1\\h(5)=h(4)-h(3)+u(5)=0 \"<\/p>\n

Soluzione iterativa e confronto con la soluzione precedente<\/h2>\n

Partendo da:<\/p>\n

\"\\y(k)=y(k-1)-y(k-2)+u(k)\"<\/p>\n

eseguiamo iterativamente il calcolo della risposta e lo confrontiamo con la soluzione precedente, ricordando [1]\n

\"\\y(0)=h(0)u(0)=1\\y(0)=y(-1)-y(-2)+u(0)=1\\\\y(1)=h(0)u(1)+h(1)u(0)=1+1=2\\y(1)=y(0)-y(-1)+u(1)=1-0+1=2\\\\y(2)=h(0)u(2)+h(1)u(1)+h(2)u(0)=+1+0=1\\y(2)=y(1)-y(0)+u(2)=2-1+0=1\\\\y(3)=h(0)u(3)+h(1)u(2)+h(2)u(1)+h(3)u(0)=0+0+0-1=-1\\y(3)=y(2)-y(1)+u(3)=1-2+0=-1\\\\y(4)=h(0)u(4)+h(1)u(3)+h(2)u(2)+h(3)u(1)+h(4)u(0)=0+0+0-1-1=-2\\y(4)=y(3)-y(2)+u(4)=-1-1+0=-2\\\\y(5)=h(0)u(5)+h(1)u(4)+h(2)u(3)+h(3)u(2)+h(4)u(1)+h(5)u(0)=0+0+0+0-1+0=-1\\y(5)=y(4)-y(3)+u(5)=-2+1+0=-1 \"<\/p>\n

Come possiamo vedere, i risultati dei due metodi coincidono.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La risposta forzata di un sistema DLIT pu\u00f2 avvenire risolvendo iterativamente l’equazione alle differenze di ordine n, oppure ricorrendo alla convoluzione discreta dell’ingresso con la risposta impulsiva del sistema. <\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":10,"featured_media":3603,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[115],"tags":[266],"class_list":{"0":"post-3590","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-automatica","8":"tag-learning-automatica"},"yoast_head":"\nCome si risolvono le equazioni alle differenze? - the Tech Goggler<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"La risposta forzata di un sistema DLIT pu\u00f2 avvenire risolvendo iterativamente l'equazione alle differenze di ordine n, oppure ricorrendo alla convoluzione discreta dell'ingresso con la risposta impulsiva del sistema.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/come-si-risolvono-le-equazioni-alle-differenze\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Come si risolvono le equazioni alle differenze? 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