![\"y(n)=\alpha x(n)+(1-\alpha )y(n-1)\"](\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b698ca112156b98c15ef2f80c89255d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nIn campo digitale, l’espressione che descrive il comportamento di un circuito in cui una parte dell’uscita viene riportata in ingresso secondo un coefficiente α deve rispettare il principio di causalit\u00e0 e quindi l’uscita all’istante n potr\u00e0 essere funzione di se stessa solo limitatamente agli istanti precedenti; ad esempio, la sua forma pi\u00f9 semplice \u00e8 fornita dalla relazione:<\/p>\n
<\/p>\n
Traducendo in parole la [1], possiamo dire che l’uscita del filtro \u00e8 pari in ogni istante ad una frazione α dell’ingresso in quell’istante, sommata all’uscita nell’istante precedente moltiplicata per il complemento di α.<\/p>\n
Questo meccanismo viene detto ricorsivo, per analogia a quanto avviene in campo informatico, poich\u00e8 l’uscita all’istante n \u00e8 funzione dell’uscita all’istante n-1 che a sua volta \u00e8 funzione dell’uscita all’istante n-2 e cos\u00ec via.<\/p>\n
Dalla [1] vediamo che il fattore α ha il ruolo di una costante di tempo poich\u00e8 ci dice quanto l’uscita nello stato attuale dipenda dall’uscita nello stato precedente e quindi ci s\u00e0 una stima della velocit\u00e0 con cui varia l’uscita stessa.<\/p>\n
Infatti, per α=1 l’uscita dipende solamente dall’ingrsso in quell’istante (costante di tempo nulla), mentre per α=0 l’uscita \u00e8 sempre uguale a quella nell’istante precedente e quindi non c’\u00e8 nessuna evoluzione, qualsiasi sia l’ingresso (costante di tempo infinita).<\/p>\n
Raramente, tuttavia, ci si servir\u00e0 di un filtro con una risposta cos\u00ec lenta come quella di un filtro analogico di tipo RC, per cui i filtri digitali hanno senso a partire dal secondo ordine in poi.<\/p>\n
La descrizione di un filtro ricorsivo del secondo ordine \u00e8 fornita dall’espressione:<\/p>\n[2]\n![\"y(n)=a_{0}x(n)+a_{1}y(n-1)+a_{2}y(n-2)\"](\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20796710876eb451a732bdb38e380c13_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Nella [2], l’uscita nell’istante n \u00e8 funzione dell’ingresso nello stesso istante e dell’uscita nei due istanti precedenti. Ma l’uscita nei due istanti precedenti era funzione dell’ingresso in quegli istanti e delle uscite nei due istanti ancora precedenti. Portando il discorso al limite, si pu\u00f2 concludere che l’uscita ad un certo istante \u00e8 in qualche modo funzione delle uscite in tutti gli istanti precedenti.<\/p>\n
Ragionando in questo modo, possiamo affermare che il filtro ha una risposta all’impulso infinita, da cui il nome di IIR (Infinite Impulse Response).<\/p>\n
La funzione di trasferimento di un filtro IIR del secondo ordine si ottiene, analogamente a quanto visto per i filtri FIR, applicando la trasformata z all’equazione alle differenze finite e cercando poi il rapporto tra uscita e ingresso nel dominio z.<\/p>\n
Applicando la trasformata z alla [2], otteniamo:<\/p>\n
![\"Y(z)=a_{0}X(z)+a_{1}Y(z)z^{-1}+a_{2}Y(z)z^{-2}\"](\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39e7839f7897263795f5bec395897176_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
da cui la funzione di trasferimento risulter\u00e0:<\/p>\n
![\"G(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{a_{0}}{1-a_{1}z^{-1}-a_{2}z^{-2}}\"](\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28ea7812211c4d15f3e3b3d080f4a290_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
In un prossimo articolo generalizzeremo la funzione di trasferimento per i filtri IIR e li confronteremo con i filtri FIR.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"