{"id":3560,"date":"2022-04-23T10:16:14","date_gmt":"2022-04-23T08:16:14","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=3560"},"modified":"2023-03-29T18:46:49","modified_gmt":"2023-03-29T16:46:49","slug":"funzione-di-trasferimento-discreta-filtro-fir","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/funzione-di-trasferimento-discreta-filtro-fir\/","title":{"rendered":"La funzione di trasferimento discreta di un filtro FIR"},"content":{"rendered":"<p>La funzione di trasferimento di un blocco \u00e8 definita come la trasformata della sua risposta all&#8217;impulso. Questo \u00e8 dovuto al fatto che, nel campo delle frequenze, il segnale di uscita pu\u00f2 essere calcolato moltiplicando la trasformata del segnale di ingresso per la funzione di trasferimento del blocco.<\/p>\n<p>Partendo dalla trasformata di Fourier discreta e applicando la semplificazione <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97ff70ba20d73f2862c0195f1546233a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#61;&#101;&#94;&#123;&#45;&#106;&#50;&#92;&#112;&#105;&#32;&#92;&#118;&#97;&#114;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"107\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> possiamo definire:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2641ff67a5decedb8f7eff19f5e4eeb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;&#84;&#91;&#121;&#40;&#110;&#41;&#93;&#61;&#89;&#40;&#122;&#41;&#61;&#92;&#115;&#117;&#109;&#95;&#123;&#110;&#61;&#48;&#125;&#94;&#123;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;&#125;&#121;&#40;&#110;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>Questa nuova forma in cui pu\u00f2 essere posta la trasformata di Fourier discreta si chiama <strong>trasformata zeta<\/strong>.<\/p>\n<p>Senza approfondire, per adesso, l&#8217;argomento (<a href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/automatica\/trasformata-zeta-definizione-teoremi-esempi\/\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">vedi questo precedente articolo<\/a>), si tenga presente che l&#8217;effetto pi\u00f9 importante di questa trasformazione consiste nel fatto che ogni ritardo elementare nel tempo, equivale nel dominio della trasformata a una divisione per z. Ad esempio:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-191913dd2317855e062ccd0a8bd9ce1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;&#84;&#91;&#120;&#40;&#110;&#45;&#49;&#41;&#93;&#61;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efc50bbce4ce913d7fc49895829637f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;&#84;&#91;&#120;&#40;&#110;&#45;&#50;&#41;&#93;&#61;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>e pi\u00f9 in generale:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a278085078896c4e43ca329f01ecff6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;&#84;&#91;&#120;&#40;&#110;&#45;&#112;&#41;&#93;&#61;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#112;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<h2>Applicazione della trasformata zeta al filtro FIR nel tempo<\/h2>\n<p>Applicando la trasformata zeta cos\u00ec definita all&#8217;equazione alle differenze finite che definisce un generico filtro FIR nel tempo (<a href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/automatica\/filtri-digitali-tipo-fir-convoluzione\/\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">vedi precedente articolo<\/a>), otteniamo una equazione algebrica che costituisce la sua definizione nel dominio complesso della variabile z.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26a5181effc828840fd35a125c33d013_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#90;&#84;&#91;&#121;&#40;&#110;&#41;&#93;&#61;&#90;&#84;&#91;&#97;&#95;&#123;&#48;&#125;&#120;&#40;&#110;&#41;&#43;&#97;&#95;&#123;&#49;&#125;&#120;&#40;&#110;&#45;&#49;&#41;&#43;&#92;&#99;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#97;&#95;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#120;&#40;&#110;&#45;&#78;&#43;&#49;&#41;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"635\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>ovvero:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c7dd8ee69b327dcbec5406afbec47af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#89;&#40;&#122;&#41;&#61;&#97;&#95;&#123;&#48;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#43;&#97;&#95;&#123;&#49;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#43;&#92;&#99;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#97;&#95;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#78;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"536\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>A questo punto \u00e8 immediato ricavare la funzione di trasferimento del filtro:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbc9ab66617ca9d9c3af27124e36813d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#71;&#40;&#122;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#89;&#40;&#122;&#41;&#125;&#123;&#88;&#40;&#122;&#41;&#125;&#61;&#32;&#97;&#95;&#123;&#48;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#43;&#97;&#95;&#123;&#49;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#43;&#92;&#99;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#97;&#95;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#88;&#40;&#122;&#41;&#122;&#94;&#123;&#45;&#78;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"609\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<p>ovvero in forma pi\u00f9 compatta :<\/p>\n[1]\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c72084722fe6a32c4491bd4e1350b29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#71;&#40;&#122;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#89;&#40;&#122;&#41;&#125;&#123;&#88;&#40;&#122;&#41;&#125;&#61;&#92;&#115;&#117;&#109;&#95;&#123;&#105;&#61;&#48;&#125;&#94;&#123;&#78;&#45;&#49;&#125;&#97;&#95;&#123;&#105;&#125;&#122;&#94;&#123;&#45;&#105;&#125;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -13px;\"\/><\/p>\n<p>Le ultime due equazioni rappresentano due modi equivalenti di scrivere la <strong>funzione di trasferimento discreta di un generico filtro FIR di ordine N-1<\/strong>.<\/p>\n<p>I filtri FIR sono molto importanti perch\u00e8 si pu\u00f2 sempre fare in modo che essi abbiano uno sfasamento lineare con la frequenza.<\/p>\n<h2>Filtri a sfasamento lineare<\/h2>\n<p>Sebbene la fase dei segnali trasmessi sia spesso trascurata nei sistemi di telecomunicazione di tipo monoaurale, come il telefono, nel caso di sistemi di tipo multifonico essa \u00e8 di fondamentale importanza nella percezione della posizione del suono.<\/p>\n<p>Da questo la necessit\u00e0 per determinate applicazioni di avere dei filtri a sfasamento lineare con la frequenza, in modo che la fase non venga distorta. Questo analogamento a quanto avviene nelle linee elettriche quando \u00e8 valida la condizione di Heaviside, dal momento che i mezzi fisici hanno il compito di portare il segnale senza distorcerlo.<\/p>\n<p>Infatti, se si trasmette un segnale x(t) lungo una linea, questa \u00e8 ritenuta non distorcente se se vengono rispettate le condizioni di Heaviside e cio\u00e8 se si ammette che il segnale stesso possa essere recuperato da quello ricevuto y(t) a meno di un fattore di scala e di un ritardo temporale finito, cio\u00e8:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8888198d91a0be0639604bee14eb8101_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&#40;&#116;&#41;&#61;&#65;&#95;&#123;&#48;&#125;&#120;&#40;&#116;&#45;&#116;&#95;&#123;&#48;&#125;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>Considerando la propriet\u00e0 rivelatrice dell&#8217;impulso, \u00e8 facile verificare che ci\u00f2 si ottiene vedendo la linea come un filtro la cui risposta all&#8217;impulso valga:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f495d0669727dbda6186f3fced6e278e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#40;&#116;&#41;&#61;&#65;&#95;&#123;&#48;&#125;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#32;&#40;&#116;&#45;&#116;&#95;&#123;&#48;&#125;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>Dunque, per ricavare le condizioni di Heaviside valide in frequenza, basta trasformare la g(t) ottenendo:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3916f07d83b52099f57944d898eb39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#71;&#40;&#102;&#41;&#61;&#65;&#95;&#123;&#48;&#125;&#101;&#94;&#123;&#45;&#106;&#50;&#92;&#112;&#105;&#32;&#102;&#116;&#95;&#123;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/><\/p>\n<p>Da questa espressione possiamo affermare che per un filtro la condizione di Heaviside corrisponde al fatto che la sua funzione di trasferimento abbia ampiezza costante e fase proporzionale alla frequenza per tutte le frequenze; la cosa \u00e8 del tutto equivalente a quanto valido per le linee di trasmissione.<\/p>\n<h2>Condizioni per avere un filtro FIR a sfasamento lineare<\/h2>\n<p>Perch\u00e8 un filtro FIR introduca uno sfasamento lineare \u00e8 necessario che i suoi coefficienti siano simmetrici se il filtro \u00e8 passa-basso e antisimmetrici se il filtro \u00e8 passa-alto.<\/p>\n<p>Senza addentrarci nella dimostrazione, la funzione di trasferimento del filtro [1] pu\u00f2 essere riscritta come:<\/p>\n[2]\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb9016033b40a631cb111a67cfa0d94a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#71;&#40;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#41;&#61;&#101;&#94;&#123;&#45;&#106;&#92;&#112;&#105;&#32;&#78;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#92;&#115;&#117;&#109;&#95;&#123;&#107;&#61;&#48;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#78;&#125;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#125;&#91;&#97;&#95;&#123;&#107;&#125;&#99;&#111;&#115;&#40;&#50;&#92;&#112;&#105;&#32;&#107;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#41;&#43;&#106;&#97;&#95;&#123;&#107;&#125;&#115;&#101;&#110;&#40;&#50;&#92;&#112;&#105;&#32;&#107;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#41;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"518\" style=\"vertical-align: -7px;\"\/><\/p>\n<p>dove, partendo dalla [1] abbiamo posto <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a5ff14853650e729d18fafefd6ca912_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#61;&#102;&#84;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> (frequenza normalizzata), il cambio di variabile <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da2f5aec639186669b52e6f8bbf17f8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#107;&#61;&#105;&#45;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#78;&#125;&#123;&#50;&#125;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/> e applicato poi le formule di Eulero.<\/p>\n<p>Ora, dalla [2], si vede che se i coefficienti a<sub>k<\/sub> sono simmetrici, cio\u00e8 a<sub>k<\/sub>=a<sub>-k<\/sub>, allora nella sommatoria scompaiono le funzioni sinusoidali e G(&theta;) rester\u00e0 reale e moltiplicata per un fattore di sfasamento pari a <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3299b7370d1960b8b93b6526dc7acf35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#112;&#105;&#32;&#78;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"63\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> che varia linearmente con la frequenza.<\/p>\n<p>Se invece i coefficienti a<sub>k<\/sub> sono antisimmetrici, cio\u00e8 a<sub>k<\/sub>=-a<sub>-k<\/sub>, saranno le funzioni cosinusoidali a sparire dalla sommatoria. Lo sfasamento risulter\u00e0 ancora lineare, per la presenza del termine <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3299b7370d1960b8b93b6526dc7acf35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#112;&#105;&#32;&#78;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"63\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> seppure aumentato di un fattore <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8784847c5c555be2af5628d2b7bbe919_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#112;&#105;&#32;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -8px;\"\/> visto che la funzione \u00e8 adesso puramente immaginaria. Notare inoltre che, in questo ultimo caso, la <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82ddc7f9383f2db8ff159b5633fea87f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#71;&#40;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> diventer\u00e0 una funzione dispari della frequenza e quindi il filtro sar\u00e0 di tipo passa-alto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div class=\"mh-excerpt\"><p>Dopo aver visto il suo comportamento nel tempo, ricaviamo la funzione di trasferimento di un filtro FIR e le condizioni affinch\u00e8 esso introduca uno sfasamento lineare con la frequenza. <a class=\"mh-excerpt-more\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/funzione-di-trasferimento-discreta-filtro-fir\/\" title=\"La funzione di trasferimento discreta di un filtro FIR\"><\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":3570,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[115],"tags":[262],"class_list":{"0":"post-3560","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-automatica","8":"tag-learning-segnali"},"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.3 - 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