{"id":3494,"date":"2022-04-10T16:05:24","date_gmt":"2022-04-10T14:05:24","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=3494"},"modified":"2023-03-29T18:47:04","modified_gmt":"2023-03-29T16:47:04","slug":"filtri-digitali-tipo-fir-convoluzione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/filtri-digitali-tipo-fir-convoluzione\/","title":{"rendered":"I filtri digitali di tipo FIR"},"content":{"rendered":"

Questa \u00e8 la seconda parte di una serie di articoli dedicata ai filtri digitali. Prima parte: Introduzione ai filtri digitali e confronto con i filtri analogici<\/a>.<\/p>\n

La risposta nel tempo ad un ingresso costante di un filtro passa-basso analogico, \u00e8 tipicamente quella illustrata in figura:<\/p>\n

\"Transitorio<\/a><\/p>\n

Come si pu\u00f2 vedere, essa \u00e8 costituita da un transitorio iniziale di tipo oscillatorio che si smorza a regime ed \u00e8 dovuto all’azione del condensatore.<\/p>\n

Questo transitorio, dunque, \u00e8 una caratteristica distintiva del filtro. Vediamo cosa succede quando il ritardo dovuto al transitorio \u00e8 comparabile con i tempi di variazione del segnale di ingresso. Supponiamo di avere un filtro passa-basso passivo del tipo:<\/p>\n

\"Filtro<\/a><\/p>\n

in cui assumiamo R=100 kΩ e C=10 nF; ne segue una costante di tempo τ=10-3<\/sup> s.<\/p>\n

All’ingresso del filtro poniamo un segnale di tipo numerico, vedi figura 3a, con quanto temporale T=1 ms, ovvero pari alla costante di tempo del filtro. Assumendo il condensatore inizialmente scarico, durante il primo periodo dell’ingresso esso comincer\u00e0 a caricarsi esponenzialmente verso la tensione di 1 V. Dalla teoria \u00e8 noto che dopo una costante di tempo, ovvero 1 ms, il condensatore avr\u00e0 raggiunto il 63% del valore finale, ovvero 0,63 V.<\/p>\n

Dopo 1 ms tuttavia, l’ingresso si porta ad un valore pari a 2 V: il condensatore allora, che \u00e8 carico a 0,63 V, si caricher\u00e0 adesso verso una tensione pari a: (2 – 0,63)= 1,37 V. Dunque dopo un’altro millisecondo il condensatore sar\u00e0 carico a una tensione pari a Vu<\/sub>=0,63 + (0,63×1,37) V = 1,49 V<\/p>\n

Iterando questi calcoli, si trova che la tensione di uscita del filtro segue l’andamento di figura 3-b. L’effetto del filtro \u00e8 quello di smussare gli spigoli della forma d’onda di ingresso: pi\u00f9 precisamente, il filtro ne opera la media mobile (moving average).<\/p>\n

\"Figura<\/a>
Figura 3. Effetto MA del filtro. a) ingresso numerico b) segnale di uscita<\/figcaption><\/figure>\n

Media mobile<\/h2>\n

Semplicemente, la media mobile (pesata) di una serie di valori discreti, si pu\u00f2 esprimere come:<\/p>\n

\"y(n)=a_{0}x(n)+a_{1}x(n-1)+a_{2}x(n-2)\"<\/p>\n

dove abbiamo assunto, ad esempio, 3 valori. La somma dei coefficienti deve essere:<\/p>\n

\"a_{0}+a_{1}+a_{2}=1\"<\/p>\n

Modello matematico di un filtro digitale FIR<\/h2>\n

Generalizzando quanto detto precedentemente, l’uscita di un filtro digitale FIR si ottiene dalla convoluzione discreta tra il segnale x(nT) e la distribuzione dei coefficienti ai<\/sub> con quanto temporale T=1. Potremmo dimostrare, infatti, che tale convoluzione discreta equivale ad una operazione di filtraggio nel dominio del tempo.<\/p>\n

\"y(n)=\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}x(n-i)\"<\/p>\n

Scrivendo per esteso l’equazione alle differenze finite precedente, possiamo dire che l’uscita di un filtro FIR di ordine N nell’istante n, pu\u00f2 essere scritta come:<\/p>\n

\"y(n)=a_{0}x(n)+a_{1}x(n-1)+...+a_{N-1}x(n-N+1)\"<\/p>\n

L’uscita in un certo istante \u00e8 data dunque dalla combinazione lineare dei campioni dell’ingresso presi in un numero finito di istanti precedenti con determinati coefficienti, ottenuti ponendo in ingresso del filtro degli impulsi unitari nei diversi istanti. Per questo motivo, questo tipo di filtro digitale viene chiamato risposta finita all’impulso<\/em> (FIR: Finite Impulse Response).<\/p>\n

Commento finale<\/h2>\n

Il comportamento di un filtro pu\u00f2 essere studiato pi\u00f9 comodamente in frequenza analizzando la sua funzione di trasferimento. Lo vedremo nella prossima parte di questa serie di articoli.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’uscita di un filtro FIR in un certo istante \u00e8 data dalla combinazione lineare dei campioni dell’ingresso presi in un numero finito di istanti precedenti. <\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":10,"featured_media":3513,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[115],"tags":[262],"class_list":{"0":"post-3494","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-automatica","8":"tag-learning-segnali"},"yoast_head":"\nI filtri digitali di tipo FIR - the Tech Goggler<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"L'uscita di un filtro FIR in un certo istante \u00e8 data dalla combinazione lineare dei campioni dell'ingresso presi in un numero finito di istanti precedenti.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/filtri-digitali-tipo-fir-convoluzione\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"I filtri digitali di tipo FIR - 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