{"id":3072,"date":"2022-02-11T12:33:39","date_gmt":"2022-02-11T12:33:39","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=3072"},"modified":"2022-02-11T16:34:02","modified_gmt":"2022-02-11T16:34:02","slug":"gottlob-frege-programma-logicista","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/gottlob-frege-programma-logicista\/","title":{"rendered":"Il “programma logicista” di Gottlob Frege"},"content":{"rendered":"

Il primo tentativo orientato a riscrivere il corpo stabilito della matematica nel simbolismo logico fu fatto dal logico e filosofo tedesco Gottlob Frege (1848-1925). Frege consegu\u00ec il dottorato in matematica a Gottinga nel 1873. L’anno seguente inizi\u00f2 la sua carriera di insegnante presso l’Universit\u00e0 di Jena, dove rimase per 45 anni. Il lavoro matematico di Frege fu quasi interamente dedicato alla logica matematica e ai suoi fondamenti. Il suo trattato, intitolato “Coceptual Notation, a Symbolic Language of Pure Thought Modeled on the Language of Arithmetic” (Ideografia, un linguaggio in formule del pensiero puro a imitazione di quello aritmetico), pubblicato nel 1879, \u00e8 stato una pietra miliare nella storia della logica moderna. Tuttavia passarono pi\u00f9 di 20 anni, prima che Bertrand Russell ne riconoscesse la grandezza del risultato.<\/p>\n

Come per Dedekind<\/a>, anche per Frege l’aritmetica va pensata strettamente legata alla logica; ma mentre il primo <\/p>\n

\u00abidentificava logica e aritmetica intendendo che la logica fosse aritmetica… Frege ribalta questa posizione: l’identificazione fra logica e aritmetica avviene perch\u00e8 l’aritmetica \u00e8 logica. In questo senso Frege compie un ulteriore passo, giungendo alla logicizzazione della matematica \u00bb – C. Mangione.<\/p><\/blockquote>\n

Il nucleo dell’impostazione fregeana consiste nell’enunciazione di un “programma logicista” da porre a fondamento della matematica: i concetti matematici per Frege devono essere definiti in termini puramente logici e le “verit\u00e0” (i teoremi) vanno derivate, attraverso regole logiche esplicative, a partire da princ\u00ecpi di natura esclusivamente logica.<\/p>\n

Il primo passo verso una fondazione logica della matematica risiede nel preparare una serie di opportuni strumenti che consenta di formalizzare i processi logici di deduzione. Questo fu assicurato da Frege con il suo gi\u00e0 citato trattato del 1879, che, all’epoca, non ottenne il riconoscimento che l’autore si aspettava.<\/p>\n

Cinque anni pi\u00f9 tardi nel 1884, con The Foundations of Arithmetic<\/em> (“Fondamenti dell’aritmetica. Una ricerca logico-matematica sul concetto di numero”), Frege, abbandona temporaneamente la complicata simbologia presente nell’Ideografia<\/em>, e presenta il suo programma di ricerca, in cui il momento centrale \u00e8 rappresentato dalla definizione in termini puramente logici del concetto di numero.<\/p>\n

Frege \u00e8 intransigente con le infiltrazione della psicologia nella logica e con la questione dei fondamenti dell’aritmetica. Egli si dimostra pi\u00f9 vicino alle idee filosofiche di Kant, del quale accetta anche la terminologia che comprende i giudizi analitici, sintetici, a priori, a posteriori.<\/p>\n

Decisa \u00e8 anche la sua opposizione al punto di vista formalista in matematica. Quest’ultimo, coerentemente con l’aforisma di Hilbert<\/a> “in principio era il segno”, vede nel segno 1<\/em> il significato del numero uno<\/em>, nella figura 1+1<\/em> il significato di due<\/em>, ecc. L’aritmetica diventa lo studio delle combinazioni di figure. Tale posizione formalista acquister\u00e0 spessore teorico con Hilbert.<\/p>\n

Frege si oppone ai formalisti: il segno <\/em>numerico altro non \u00e8 che un modo di denotare il contenuto concettuale<\/em> del numero. Egli d\u00e0 la sua definizione di numero: <\/p>\n

Il numero naturale che spetta al concetto F non \u00e8 altro che l’estensione del concetto “ugualmente numeroso ad F”, dove il fatto importante \u00e8 quello di ricondurre il concetto di numero a quello di estensione, concetto di natura decisamente logica.<\/p><\/blockquote>\n

Frege, dunque, definisce numero quello che per Cantor <\/a>era la cardinalit\u00e0 di un insieme. Alla base delle due definizioni possiamo ravvedere lo stesso concetto: equipotenza di insiemi per Cantor, equinumerosit\u00e0 di classi per Frege, fondati entrambi sulla nozione di corrispondenza biunivoca.<\/p>\n

Tuttavia, diverso \u00e8 il cammino teorico nei due casi. Cantor definisce il numero cardinale di un insieme attraverso un processo di astrazione – che egli lascia a livello intuitivo e logicamente indeterminato, per poi considerare tutti gli insiemi equipotenti all’insieme dato. Frege invece prima definisce il concetto di equinumerosit\u00e0 per classi e poi, attraverso una logicamente rigorosa definizione per astrazione<\/em>, definisce il numero cardinale, che risulta identificato con la classe di tutte le classi ad essa equinumerose.<\/p>\n

A parte le differenze legate alle diverse motivazioni, Frege svilupp\u00f2 un approccio equivalente a quello di Cantor, approccio che va sotto il nome di teoria ingenua degli insiemi<\/em>. Tale teoria si pu\u00f2 condensare in due soli principi che identificano gli insiemi con le propriet\u00e0 che li definiscono. Tali principi sono:<\/p>\n

    \n
  1. Il principio di estensionalit\u00e0: un insieme \u00e8 completamente determinato dai suoi elementi. Dunque, due insiemi con gli stessi elementi sono uguali.<\/li>\n
  2. Il principio di comprensione: ogni propriet\u00e0 determina un insieme. Gli elementi appartenenti all’insieme sono quelli che soddisfano la propriet\u00e0; ogni insieme \u00e8 quindi determinato da una propriet\u00e0 ovvero quella di essere un oggetto appartenente all’insieme.<\/ol>\n

    Il lavoro di Cantor e Frege mostrava che l’aritmetica era riducibile alla teoria degli insiemi, cio\u00e8 alla pura logica. Purtroppo questa semplice fondazione si dimostr\u00f2 inconsistente, da cui l’aggettivo “ingenua”. Infatti, nel 1902, Bertrand Russel fece vedere che il principio di comprensione era contradditorio: si trattava del celebre paradosso di Russel<\/em>. Come spiega Piergiorgio Odifreddi nel suo “La matematica del novecento”: <\/p>\n

    In sostanza si dividono gli insiemi di oggetti in due classi, a seconda che essi siano o no uno degli oggetti contenuti nell’insieme stesso: detto altrimenti, a seconda che essi appartengono o no a se stessi. Per esempio, l’insieme degli insiemi con pi\u00f9 di un elemento appartiene a se stesso, perch\u00e8 certamente ha pi\u00f9 di un elemento. Invece, l’insieme degli insiemi con un solo elemento non appartiene a se stesso, perch\u00e8 certamente anch’esso ha pi\u00f9 di un elemento.<\/p><\/blockquote>\n

    Ed \u00e8 a questo punto che si inserisce il paradosso di Russel con la sua domanda: l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, appartiene o no a se stesso? Ancora dal libro citato:<\/p>\n

    Se s\u00ec (appartiene a se stesso), allora \u00e8 uno degli insiemi che non appartengono a se stessi, e quindi non pu\u00f2 appartenere alla loro collezione, cio\u00e8 a se stesso. Se no, allora \u00e8 uno degli insiemi che non appartengono a se stessi, e dunque appartiene alla loro collezione, cio\u00e8 a se stesso.<\/p><\/blockquote>\n

    Nell’ultimo decennio del secolo, prima della obiezione di Russel, Frege continua a perseguire il suo programma logicista<\/em> pubblicando nel 1893 il primo volume dei Principi dell’aritmetica<\/em> cui seguir\u00e0 il secondo qualche anno dopo.<\/p>\n

    Amarezza degli ultimi anni<\/h2>\n

    Come detto, a causa della complessit\u00e0 del simbolismo utilizzato e la novit\u00e0 dell’approccio, le opere di Frege passarono quasi interamente senza riconoscimento fino a quando Russell dedic\u00f2 ad esse un’appendice nei suoi Principles of Mathematics<\/em> (1903). Quando i due volumi dei Principi dell’Aritmetica<\/em> erano in stampa, Russell trov\u00f2 il paradosso e lo comunic\u00f2 a Frege in una lettera. <\/p>\n

    Frege riconobbe la contraddizione contenuta nel suo sistema, e si ha la sensazione che egli non sia pi\u00f9 stato da allora in grado di riconquistare la sua fede nella possibilit\u00e0 di una fondazione puramente logico-formale dell’aritmetica. Di fatto negli ultimi anni egli abbandon\u00f2 la sua ricerca e mor\u00ec amareggiato, convinto che il lavoro della sua vita fosse stato per la maggior parte un fallimento. La morte di Frege non suscit\u00f2 grande attenzione dal mondo accademico: un destino ingiusto per un uomo che non di meno fu artefice di una rivoluzione nella logica.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Gottlob Frege dedic\u00f2 la sua carriera al tentativo di riscrivere i fondamenti dell’aritmetica utilizzando un simbolismo puramente logico. <\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":3078,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[121],"tags":[129],"class_list":{"0":"post-3072","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-storia-tecnologia","8":"tag-matematica"},"yoast_head":"\nIl "programma logicista" di Gottlob Frege - the Tech Goggler<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Gottlob Frege dedic\u00f2 la sua carriera al tentativo di riscrivere i fondamenti dell'aritmetica utilizzando un simbolismo puramente logico.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/gottlob-frege-programma-logicista\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Il "programma logicista" di Gottlob Frege - 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