{"id":3033,"date":"2022-02-07T17:20:37","date_gmt":"2022-02-07T16:20:37","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=3033"},"modified":"2023-04-16T17:27:08","modified_gmt":"2023-04-16T15:27:08","slug":"trasformata-zeta-definizione-teoremi-esempi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/trasformata-zeta-definizione-teoremi-esempi\/","title":{"rendered":"La trasformata Zeta: definizione, teoremi, esempi"},"content":{"rendered":"

Definizione di trasformata Z e primi esempi<\/h2>\n

La trasformata Z di una sequenza f(n) con n=0,1,2.. \u00e8 definita da:<\/p>\n

\"Z[f(n)]=F(z)=\sum_{0}^{\infty }f(n)z^{-n}\" <\/p>\n

Se la serie converge, la regione di convergenza, ovvero l’insieme dei valori di z nel piano complesso per cui la serie converge, \u00e8 diversa per ogni f(n). La trasformata \u00e8 definita per n≥0 in modo da permettere una corrispondenza biunivoca tra la funzione nel tempo e la sua trasformata. Di conseguenza, anche la funzione del tempo dovr\u00e0 essere definita per n≥0, in caso contrario la sua trasformata ignorerebbe tutta la parte di funzione per n<0.<\/p>\n

Esempio 1.<\/strong> Consideriamo f(n)=1, costante per qualsiasi n≥0 (il cosiddetto gradino unitario):<\/p>\n

\"Z(1)=\sum_{0}^{\infty }(1)z^{-n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}+...\" <\/p>\n

Come si pu\u00f2 notare, questa \u00e8 la serie geometrica di ragione 1\/z che converge a:<\/p>\n

\"Z(1)=\frac{1}{1-(\frac{1}{z})}=\frac{z}{z-1}\"   \"per \left|z \right|> 1\" <\/p>\n

La regione di convergenza \u00e8 quindi costituita da tutti gli z complessi esterni al cerchio di raggio unitario.<\/p>\n

Esempio 2.<\/strong> Consideriamo la trasformata Z di \"f(n)=d^{n}\" :<\/p>\n

\"Z[d^{n}]=\sum_{0}^{\infty }d^{n}z^{-n}=1+(\frac{d}{z})+(\frac{d}{z})^{2}+(\frac{d}{z})^{3}+\cdots \" <\/p>\n

La serie di ragione d\/z converge a:<\/p>\n

\"Z[d^{n}]=\frac{1}{1-(\frac{d}{z})}=\frac{z}{z-d}\"   per \"\left|\frac{d}{z} \right|< 1\" <\/p>\n

e la regione di convergenza \u00e8 costituita da tutti i valori di z complesso esterni al cerchio di raggio |d|.<\/p>\n

\"tabella<\/a>
Trasformata Z di alcune funzioni elementari. Clic per ingrandire.<\/figcaption><\/figure>\n

Teoremi fondamentali relativi alla trasformata zeta<\/h2>\n

Linearit\u00e0<\/strong>. Date Z[f1<\/sub>(n)]=F1<\/sub>(z) e Z[f2<\/sub>(n)]=F2<\/sub>(z) con c1<\/sub>, c2<\/sub> costanti:<\/p>\n

\"Z[c_{1}f_{1}(n)+c_{2}f_{2}(n)]=c_{1}F_{1}(z)+c_{2}F_{2}(z)\" <\/p>\n

Traslazione nel tempo<\/strong>. Data \"Z[f(n)]=F(z)\" , allora:<\/p>\n

\"Z[f(n+1)]=zF(z)-zf(0)\" <\/p>\n

In particolare, se le condizioni iniziali sono nulle, si avr\u00e0:<\/p>\n

\"Z[f(n+1)]=zF(z)\"<\/p>\n

e, analogamente:<\/p>\n

\"Z[f(n-1)]=z^{-1}F(z)\" <\/p>\n

Traslazione in z<\/strong>. Data \"Z[f(n)]=F(z)\", allora ponendo a=costante:<\/p>\n

\"Z[e^{anT}f(n)]=F(ze^{-aT})\" <\/p>\n

Valore finale<\/strong>. Se \"Z[f(n)]=F(z)\" converge per |z|>1 e tutti i poli di (1-z)F(z) si trovano all’interno del cerchio di raggio unitario, allora:<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to \infty }=\displaystyle \lim_{z \to 1}[(1-z^{-1})F(z)]\" <\/p>\n

Valore iniziale<\/strong>. Se \"Z[f(n)]=F(z)\" ed esiste il \"\displaystyle \lim_{z \to \infty }F(z)\" , allora:<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to \o}f(n)=\displaystyle \lim_{z \to \infty }F(z)\" <\/p>\n

Derivata parziale<\/strong>. Se Z[f(n,a)]=F(z,a), allora:<\/p>\n

\"Z[\frac{\partial f(n,a)}{\partial a}]=\frac{\partial F(z,a)}{\partial a}\" <\/p>\n

Convoluzione nel tempo<\/strong>. Se \"Z[f_{1}(n)]F_{1}(z)\" e \"Z[f_{2}(n)]F_{2}(z)\", allora:<\/p>\n

\"Z[f_{1}(n)\ast f_{2}(n)]=F_{1}(z) \times F_{2}(z)\" <\/p>\n

Applicazione della trasformata Z nella risoluzione di equazioni alle differenze finite<\/h2>\n

L’applicazione pi\u00f9 diffusa della trasformata Z \u00e8 quella in cui viene utilizzata per risolvere per via analitica le equazioni alle differenze finite. Essa permette di trasformare tali equazioni in una equazione algebrica che, una volta risolta in z, permetter\u00e0 di ottenere la soluzione nel tempo y(n) operando la trasformata inversa e calcolandola per ogni n.<\/p>\n

Esempio<\/strong>. Si abbia la seguente equazione alle differenze finite del secondo ordine:<\/p>\n

y(n+2)-y(n+1)+0,21y(n)=3x(n+1)+1,2x(n) <\/p>\n

e supponiamo di voler trovare la risposta al gradino unitario nel caso di condizioni iniziali nulle.<\/p>\n

Applicando la trasformata zeta all’equazione, ricordando che siamo nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle:<\/p>\n

\"(z^{2}-z+0,21)Y(z)=(3z+1,2)X(z)\" <\/p>\n

da qui possiamo ottenere la funzione di trasferimento discreta (rapporto tra uscita e ingresso nella variabile z):<\/p>\n

\"G(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{3z+1,2}{z^{2}-z+0,21}\" <\/p>\n

Possiamo vedere che la funzione G(z) presenta uno zero in 0,4 e due poli in p1<\/sub>=0,3 e p2<\/sub>=0,7.<\/p>\n

Per ottenere l’uscita in risposta ad un gradino unitario, dovremo adesso moltiplicare la G(z) per X(z). Quest’ultima altro non \u00e8 che la trasformata zeta del gradino unitario che, come si vede dalla tabella, vale:<\/p>\n

\"X(z)=\frac{z}{z-1}\" <\/p>\n

Quindi, la risposta al gradino unitario nel dominio z sar\u00e0:<\/p>\n

\"Y(z)=G(z)X(z)=\frac{z(3z+1,2)}{(z-1)(z^{2}-z+0,21)}\" <\/p>\n

Per il calcolo della y(n), procediamo adesso con la trasformata inversa, applicando innanzitutto la scomposizione in frazioni parziali<\/a>:<\/p>\n

\"Y(z)=\frac{20}{z-1}+\frac{7,5z}{z-0,3}-\frac{27,5z}{z-0,7}\" <\/p>\n

Utilizzando la tabella gi\u00e0 vista, possiamo adesso calcolare y(n) attraverso la trasformata inversa:<\/p>\n

y(n)=20+7,5(0,3)n<\/sup>-27,5(0,7)n<\/sup><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La trasformata zeta realizza una trasformazione dal dominio del tempo discreto al dominio z, dove z \u00e8 una variabile complessa. <\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":10,"featured_media":3080,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[115],"tags":[262,128],"class_list":{"0":"post-3033","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-automatica","8":"tag-learning-segnali","9":"tag-teoria-dei-segnali"},"yoast_head":"\nLa trasformata Zeta: definizione, teoremi, esempi - the Tech Goggler<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"La trasformata zeta realizza una trasformazione dal dominio del tempo discreto al dominio z, dove z \u00e8 una variabile complessa.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/trasformata-zeta-definizione-teoremi-esempi\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"La trasformata Zeta: definizione, teoremi, esempi - 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