{"id":10477,"date":"2023-04-16T17:06:12","date_gmt":"2023-04-16T15:06:12","guid":{"rendered":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/?p=10477"},"modified":"2023-04-16T17:06:12","modified_gmt":"2023-04-16T15:06:12","slug":"cinematica-unidimensionale-il-concetto-di-velocita-istantanea","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/techgoggler.com\/it\/cinematica-unidimensionale-il-concetto-di-velocita-istantanea\/","title":{"rendered":"Cinematica unidimensionale: il concetto di velocit\u00e0 istantanea"},"content":{"rendered":"

In questo articolo parleremo di cinematica (dal francese cin\u00e9matique coniato da A.-M. Amp\u00e8re, derivato del greco k\u00ednema “movimento”) unidimensionale. Possiamo ad esempio considerare una persona che corre lungo una strada. Quello che vogliamo fare \u00e8 descrivere posizione, velocit\u00e0 e accelerazione di questo corridore. Ma prima di poterlo fare, abbiamo bisogno di introdurre alcuni strumenti matematici.<\/p>\n

Il sistema di coordinate<\/h2>\n

Per definire il nostro sistema di coordinate, la prima cosa da fare \u00e8 scegliere l’origine del sistema. Dato che abbiamo la libert\u00e0 di scegliere l’origine dove pi\u00f9 ci aggrada, scegliamo un punto lungo la nostra strada come origine. La seconda cosa da fare \u00e8 scegliere un asse. La scelta dell’asse ci viene suggerita dall’esempio che stiamo considerando: la strada sar\u00e0 il nostro asse e lo chiameremo asse x.<\/p>\n

Inoltre, sul nostro asse andremo a individuare una direzione positiva e una unit\u00e0 di misura. La figura qui sotto \u00e8 esplicativa.<\/p>\n

Ma per parlare del movimento, non ci basta l’unit\u00e0 di misura (metro, centimetro, ovvero uno scalare) ma ci serve qualcosa che dia conto della direzione e del verso del moto: il terzo strumento che andiamo a definire, quindi, \u00e8 il concetto di vettore unitario.<\/p>\n

Supponiamo un moto dal punto P1 al punto P2: questo potr\u00e0 essere completamente descritto da un vettore di modulo 1 con direzione e verso coicidenti con l’asse +x. Lo stesso potremo dire per un movimento dal punto P2 al punto P3. In questo nostro sistema di coordinate unidimendionali, dunque, questi vettori hanno tutti lo stesso modulo e direzione: ma due vettori di ugual modulo e direzione sono necessariamente uguali. Dunque tutti i punti del nostro spazio avranno associato uno stesso vettore unitario che identificheremo con \"\large \vec{i}\".<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Funzione posizione e vettore posizione<\/h2>\n

Ora che abbiamo scelto un sistema di coordinate per il nostro corridore che percorre la strada, vogliamo ora descrivere la funzione posizione nel nostro sistema di coordinate rispetto all’origine che abbiamo scelto.<\/p>\n

Il nostro corridore non \u00e8 un corpo rigido, braccia e gambe si muovono durante la corsa: per questo identificheremo un punto, nel centro del corpo del corridore, che supporremo fisso.<\/p>\n

Disegnamo un vettore che parte dall’origine fino a questo punto fisso e chiameremo questo vettore posizione \"\large \vec{r}(t)\". Ricordando che ogni punto ha una coordinata x, definiamo funzione posizione proprio x(t) che descrive come la coordinata del corridore varia nel tempo.<\/p>\n

Dunque, il vettore posizione coincide con x(t) se non per il fatto che questo \u00e8 un vettore mentre x(t) \u00e8 una quantit\u00e0 (scalare). Per tener conto della direzione, diremo allora che \"\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}\". x(t) \u00e8 la componente (il modulo) del vettore posizione \"\large \vec{r}(t)\".
\n\"\"<\/p>\n

La componente x(t) potr\u00e0 essere positiva, se il corridore si trova a destra dell’origine, negativa se il corridore si trova a sinistra dell’origine o nulla, se il corridore si trova nell’origine. <\/p>\n

Vettore spostamento<\/h2>\n

Ora che abbiamo descritto il vettore di posizione del corridore, proviamo a descrivere cosa succede nel tempo mentre il corridore si muove lungo la nostra strada. Supponiamo che egli abbia la posizione x(t) al tempo t e che sia in movimento. Dopo un tempo Δt, egli si trover\u00e0 nella posizione x(t+Δt).<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dunque potremo descrivere il vettore spostamento come: \"\vec{r}(t)=x(t)\vec{i} \"<\/p>\n

\"\vec{r}(t+\Delta (t)=x(t+\Delta t)\vec{i} \"<\/p>\n

\"\Delta \vec{r}=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)=(x(t+\Delta t)-x(t))\vec{i} \"<\/p>\n

\"\Delta \vec{r}=\Delta x \vec{i} \" <\/p>\n

dove nell’ultima espressione possiamo avere \"\Delta x >0\", \"\Delta x <0\" oppure \"\Delta x =0\" a seconda che il corridore si sposti verso destra, verso sinistra oppure ritorni esattamente al punto di partenza. Il termine \"\Delta x\" si chiama componente del vettore spostamento \"\vec{r}\".<\/p>\n

Velocit\u00e0 media<\/h2>\n

Possiamo a questo punto definire il concetto di velocit\u00e0 media nell’intervallo \"[t,t+\Delta t]\":<\/p>\n

\"\vec{v}_m=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i}\" dove \"\frac{\Delta x}{\Delta t}\" viene detta la componente della velocit\u00e0 media. Questa ancora potr\u00e0 essere positiva, nulla o negativa a seconda del segno della quantit\u00e0 \"\Delta x\". La cosa importante \u00e8 qui comprendere che la velocit\u00e0 media cos\u00ec definita dipende dall’intervallo di tempo \"[t,t+\Delta t]\".<\/p>\n

Velocit\u00e0 istantanea<\/h2>\n

La domanda che ci poniamo adesso \u00e8 come possiamo definire la velocit\u00e0 in un preciso istante di tempo t1<\/sub>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Come abbiamo visto, la velocit\u00e0 media in questo intervallo di tempo sar\u00e0:<\/p>\n

\"\vec{v}_m=\frac{x(t_{1}+\Delta t)-x(t_{1})}{\Delta t}\vec{i}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i}\", ovvero, geometricamente, la pendenza della retta in verde disegnata nella figura precedente.<\/p>\n

Per ottenere la velocit\u00e0 all’istante t1<\/sub> (velocit\u00e0 istantanea), dobbiamo adesso pensare di restringere l’intervallo temporale che abbiamo preso in considerazione, ovvero di prendere una quantit\u00e0 \"\Delta t\" sempre pi\u00f9 piccola.<\/p>\n

Al diminuire di \"\Delta t\" vediamo dalla figura che cambier\u00e0 anche la velocit\u00e0 media, ovvero cambier\u00e0 la pendenza della retta verde. Al limite, quando l’intervallo \"\Delta t\" tende a zero, la velocit\u00e0 istantanea al tempo t1<\/sub> sar\u00e0 la pendenza della retta gialla, ovvero della retta tangente alla funzione x(t) al tempo t1<\/sub><\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Possiamo adesso descrivere matematicamente la velocit\u00e0 istantanea in un istante t qualsiasi:<\/p>\n

\"\vec{v}(t)=(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t})\vec{i}\"<\/p>\n

ma il limite tra parentesi altro non \u00e8 che la derivata della funzione posizione rispetto al tempo<\/strong>, dunque:<\/p>\n

\"\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\vec{i}\"<\/p>\n

Conclusione<\/h2>\n

La velocit\u00e0 istantanea in un determinato istante t*<\/sup> \u00e8 la derivata rispetto a t della funzione posizione x(t), calcolata per il particolare istante temporale t*<\/sup>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Illustriamo il concetto di velocit\u00e0 istantanea di un corpo che si muove lungo un’unica dimensione. <\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":10583,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[115],"tags":[265],"class_list":{"0":"post-10477","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-automatica","8":"tag-learning-meccanica"},"yoast_head":"\nCinematica unidimensionale: il concetto di velocit\u00e0 istantanea - the Tech Goggler<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Illustriamo il concetto di velocit\u00e0 istantanea di un corpo che si muove lungo un'unica dimensione.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/techgoggler.com\/it\/cinematica-unidimensionale-il-concetto-di-velocita-istantanea\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Cinematica unidimensionale: il concetto di velocit\u00e0 istantanea - 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