La funzione di trasferimento discreta di un filtro FIR

La funzione di trasferimento di un blocco è definita come la trasformata della sua risposta all’impulso. Questo è dovuto al fatto che, nel campo delle frequenze, il segnale di uscita può essere calcolato moltiplicando la trasformata del segnale di ingresso per la funzione di trasferimento del blocco.

Partendo dalla trasformata di Fourier discreta e applicando la semplificazione $z=e^{-j2\pi \vartheta }$ possiamo definire:

$ZT[y(n)]=Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty }y(n)z^{-n}$

Questa nuova forma in cui può essere posta la trasformata di Fourier discreta si chiama trasformata zeta.

Senza approfondire, per adesso, l’argomento (vedi questo precedente articolo), si tenga presente che l’effetto più importante di questa trasformazione consiste nel fatto che ogni ritardo elementare nel tempo, equivale nel dominio della trasformata a una divisione per z. Ad esempio:

$ZT[x(n-1)]=X(z)z^{-1}$
$ZT[x(n-2)]=X(z)z^{-2}$

e più in generale:

$ZT[x(n-p)]=X(z)z^{-p}$

Applicazione della trasformata zeta al filtro FIR nel tempo

Applicando la trasformata zeta così definita all’equazione alle differenze finite che definisce un generico filtro FIR nel tempo (vedi precedente articolo), otteniamo una equazione algebrica che costituisce la sua definizione nel dominio complesso della variabile z.

$ZT[y(n)]=ZT[a_{0}x(n)+a_{1}x(n-1)+\cdots +a_{n-1}x(n-N+1)]$

ovvero:

$Y(z)=a_{0}X(z)+a_{1}X(z)z^{-1}+\cdots +a_{n-1}X(z)z^{-N+1}$

A questo punto è immediato ricavare la funzione di trasferimento del filtro:

$G(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}= a_{0}X(z)+a_{1}X(z)z^{-1}+\cdots +a_{n-1}X(z)z^{-N+1}$

ovvero in forma più compatta :

[1] $G(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}z^{-i}$

Le ultime due equazioni rappresentano due modi equivalenti di scrivere la funzione di trasferimento discreta di un generico filtro FIR di ordine N-1.

I filtri FIR sono molto importanti perchè si può sempre fare in modo che essi abbiano uno sfasamento lineare con la frequenza.

Filtri a sfasamento lineare

Sebbene la fase dei segnali trasmessi sia spesso trascurata nei sistemi di telecomunicazione di tipo monoaurale, come il telefono, nel caso di sistemi di tipo multifonico essa è di fondamentale importanza nella percezione della posizione del suono.

Da questo la necessità per determinate applicazioni di avere dei filtri a sfasamento lineare con la frequenza, in modo che la fase non venga distorta. Questo analogamento a quanto avviene nelle linee elettriche quando è valida la condizione di Heaviside, dal momento che i mezzi fisici hanno il compito di portare il segnale senza distorcerlo.

Infatti, se si trasmette un segnale x(t) lungo una linea, questa è ritenuta non distorcente se se vengono rispettate le condizioni di Heaviside e cioè se si ammette che il segnale stesso possa essere recuperato da quello ricevuto y(t) a meno di un fattore di scala e di un ritardo temporale finito, cioè:

$y(t)=A_{0}x(t-t_{0})$

Considerando la proprietà rivelatrice dell’impulso, è facile verificare che ciò si ottiene vedendo la linea come un filtro la cui risposta all’impulso valga:

$g(t)=A_{0}\delta (t-t_{0})$

Dunque, per ricavare le condizioni di Heaviside valide in frequenza, basta trasformare la g(t) ottenendo:

$G(f)=A_{0}e^{-j2\pi ft_{0}}$

Da questa espressione possiamo affermare che per un filtro la condizione di Heaviside corrisponde al fatto che la sua funzione di trasferimento abbia ampiezza costante e fase proporzionale alla frequenza per tutte le frequenze; la cosa è del tutto equivalente a quanto valido per le linee di trasmissione.

Condizioni per avere un filtro FIR a sfasamento lineare

Perchè un filtro FIR introduca uno sfasamento lineare è necessario che i suoi coefficienti siano simmetrici se il filtro è passa-basso e antisimmetrici se il filtro è passa-alto.

Senza addentrarci nella dimostrazione, la funzione di trasferimento del filtro [1] può essere riscritta come:

[2] $G(\theta )=e^{-j\pi N\theta }\sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}[a_{k}cos(2\pi k\theta )+ja_{k}sen(2\pi k\theta )]$

dove, partendo dalla [1] abbiamo posto $\theta=fT$ (frequenza normalizzata), il cambio di variabile $k=i-(\frac{N}{2})$ e applicato poi le formule di Eulero.

Ora, dalla [2], si vede che se i coefficienti a_k sono simmetrici, cioè a_k=a_-k, allora nella sommatoria scompaiono le funzioni sinusoidali e G(θ) resterà reale e moltiplicata per un fattore di sfasamento pari a $-\pi N\theta$ che varia linearmente con la frequenza.

Se invece i coefficienti a_k sono antisimmetrici, cioè a_k=-a_-k, saranno le funzioni cosinusoidali a sparire dalla sommatoria. Lo sfasamento risulterà ancora lineare, per la presenza del termine $-\pi N\theta$ seppure aumentato di un fattore $\frac{\pi }{2}$ visto che la funzione è adesso puramente immaginaria. Notare inoltre che, in questo ultimo caso, la $G(\theta )$ diventerà una funzione dispari della frequenza e quindi il filtro sarà di tipo passa-alto.