La trasformata Zeta: definizione, teoremi, esempi

Definizione di trasformata Z e primi esempi

La trasformata Z di una sequenza f(n) con n=0,1,2.. è definita da:

$Z[f(n)]=F(z)=\sum_{0}^{\infty }f(n)z^{-n}$

Se la serie converge, la regione di convergenza, ovvero l’insieme dei valori di z nel piano complesso per cui la serie converge, è diversa per ogni f(n). La trasformata è definita per n≥0 in modo da permettere una corrispondenza biunivoca tra la funzione nel tempo e la sua trasformata. Di conseguenza, anche la funzione del tempo dovrà essere definita per n≥0, in caso contrario la sua trasformata ignorerebbe tutta la parte di funzione per n<0.

Esempio 1. Consideriamo f(n)=1, costante per qualsiasi n≥0 (il cosiddetto gradino unitario):

$Z(1)=\sum_{0}^{\infty }(1)z^{-n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}+...$

Come si può notare, questa è la serie geometrica di ragione 1/z che converge a:

$Z(1)=\frac{1}{1-(\frac{1}{z})}=\frac{z}{z-1}$ $per \left|z \right|> 1$

La regione di convergenza è quindi costituita da tutti gli z complessi esterni al cerchio di raggio unitario.

Esempio 2. Consideriamo la trasformata Z di $f(n)=d^{n}$ :

$Z[d^{n}]=\sum_{0}^{\infty }d^{n}z^{-n}=1+(\frac{d}{z})+(\frac{d}{z})^{2}+(\frac{d}{z})^{3}+\cdots$

La serie di ragione d/z converge a:

$Z[d^{n}]=\frac{1}{1-(\frac{d}{z})}=\frac{z}{z-d}$ per $\left|\frac{d}{z} \right|< 1$

e la regione di convergenza è costituita da tutti i valori di z complesso esterni al cerchio di raggio |d|.

tabella della trasformata zeta di funzioni elementari — Trasformata Z di alcune funzioni elementari. Clic per ingrandire.

Teoremi fondamentali relativi alla trasformata zeta

Linearità. Date Z[f₁(n)]=F₁(z) e Z[f₂(n)]=F₂(z) con c₁, c₂ costanti:

$Z[c_{1}f_{1}(n)+c_{2}f_{2}(n)]=c_{1}F_{1}(z)+c_{2}F_{2}(z)$

Traslazione nel tempo. Data $Z[f(n)]=F(z)$ , allora:

$Z[f(n+1)]=zF(z)-zf(0)$

In particolare, se le condizioni iniziali sono nulle, si avrà:

$Z[f(n+1)]=zF(z)$

e, analogamente:

$Z[f(n-1)]=z^{-1}F(z)$

Traslazione in z. Data $Z[f(n)]=F(z)$ , allora ponendo a=costante:

$Z[e^{anT}f(n)]=F(ze^{-aT})$

Valore finale. Se $Z[f(n)]=F(z)$ converge per |z|>1 e tutti i poli di (1-z)F(z) si trovano all’interno del cerchio di raggio unitario, allora:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty }=\displaystyle \lim_{z \to 1}[(1-z^{-1})F(z)]$

Valore iniziale. Se $Z[f(n)]=F(z)$ ed esiste il $\displaystyle \lim_{z \to \infty }F(z)$ , allora:

$\displaystyle \lim_{n \to \o}f(n)=\displaystyle \lim_{z \to \infty }F(z)$

Derivata parziale. Se Z[f(n,a)]=F(z,a), allora:

$Z[\frac{\partial f(n,a)}{\partial a}]=\frac{\partial F(z,a)}{\partial a}$

Convoluzione nel tempo. Se $Z[f_{1}(n)]F_{1}(z)$ e $Z[f_{2}(n)]F_{2}(z)$ , allora:

$Z[f_{1}(n)\ast f_{2}(n)]=F_{1}(z) \times F_{2}(z)$

Applicazione della trasformata Z nella risoluzione di equazioni alle differenze finite

L’applicazione più diffusa della trasformata Z è quella in cui viene utilizzata per risolvere per via analitica le equazioni alle differenze finite. Essa permette di trasformare tali equazioni in una equazione algebrica che, una volta risolta in z, permetterà di ottenere la soluzione nel tempo y(n) operando la trasformata inversa e calcolandola per ogni n.

Esempio. Si abbia la seguente equazione alle differenze finite del secondo ordine:

y(n+2)-y(n+1)+0,21y(n)=3x(n+1)+1,2x(n)

e supponiamo di voler trovare la risposta al gradino unitario nel caso di condizioni iniziali nulle.

Applicando la trasformata zeta all’equazione, ricordando che siamo nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle:

$(z^{2}-z+0,21)Y(z)=(3z+1,2)X(z)$

da qui possiamo ottenere la funzione di trasferimento discreta (rapporto tra uscita e ingresso nella variabile z):

$G(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{3z+1,2}{z^{2}-z+0,21}$

Possiamo vedere che la funzione G(z) presenta uno zero in 0,4 e due poli in p₁=0,3 e p₂=0,7.

Per ottenere l’uscita in risposta ad un gradino unitario, dovremo adesso moltiplicare la G(z) per X(z). Quest’ultima altro non è che la trasformata zeta del gradino unitario che, come si vede dalla tabella, vale:

$X(z)=\frac{z}{z-1}$