I regolatori PID - the Tech Goggler

Un regolatore PID è costituito dai blocchi proporzionale, integrale e derivativo connessi in parallelo. Esso riunisce le caratteristiche dei suoi blocchi elementari e può essere quindi utilizzato in tutte le applicazioni.

Segnale di uscita e funzione di trasferimento

Il segnale di uscita m(t) e la funzione di trasferimento G(s) del regolatore, posto e(0)=0, sono rispettivamente uguali a:

$m(t)=K_{p}e(t)+K_{D}\frac{de(t)}{dt}+K_{I}\int_{0}^{t}e(t)dt$

$M(s)=K_{P}E(s)+K_{D}sE(s)+K_{I}\frac{1}{s}E(s)$
$G(s)=\frac{M(s)}{E(s)}=K_{P}\left ( 1+\frac{K_{D}}{K_{P}}s+\frac{K_{I}}{K_{P}}\frac{1}{s}\right)$

La presenza di un polo nell’origine aumenta la precisione a regime del sistema ma peggiora il suo grado di stabilità, anche se compensato da due zeri nell’origine.

Limitazione del guadagno in alta e bassa frequenza

Così come visto, il regolatore PID ideale è un sistema improprio, poichè $\left|G(j\omega ) \right|\to \infty$ quando la pulsazione ω tende a infinito e quando ω=0.

Per limitare il guadagno, in alta e bassa frequenza, si utilizza il regolatore PID reale rappresentato in figura, la cui funzione di trasferimento vale:

$G(s)=\frac{R_{6}}{R_{5}}+\frac{R_{Cl}}{R_{l}}\frac{1}{1+sR_{Cl}C_{l}}+\frac{sR_{D}C_{D}}{1+sR_{CD}C_{D}}$

Progetto dei regolatori PID

Il progettista deve calcolare il valore dei coefficienti K_P, K_I e K_D in modo che soddisfino le specifiche della risposta in frequenza (margine di fase e di guadagno, banda passante, ecc.) e quelle della risposta temporale (errore a regime, tempo di assestamento, tempo di ritardo, ecc.).

Il metodo di Ziegler-Nichols

Tra i tanti metodi a disposizione, questo metodo è abbastanza diffuso in ambito industriale. Esso consiste nel ricavare i valori ottimali dei parametri K_P, K_I e K_D agendo su apposite manopole del regolatore tarate in fabbrica.

Le fasi della regolazione ottimale sono:

si pone K_P=0, K_I=0 e K_D=0 e si chiude l’anello di regolazione;
si aumenta gradualmente, dopo aver escluso l’azone derivativa e quella integrale, il valore del parametro K_P fino a portare il sistema al limite della stabilità;
si misura il valore di K_P=K_Pmax per il quale la risposta del sistema al gradino unitario è una oscillazione di ampiezza costante;
si misurano i valori della pulsazione ω_c e del periodo T_c dell’oscillazione persistente;
si regolano le altre manopole in modo che i parametri K_P, K_I e K_D assumano i valori riportati nella tabella seguente.