Filtri ricorsivi (IIR) - the Tech Goggler

In campo digitale, l’espressione che descrive il comportamento di un circuito in cui una parte dell’uscita viene riportata in ingresso secondo un coefficiente α deve rispettare il principio di causalità e quindi l’uscita all’istante n potrà essere funzione di se stessa solo limitatamente agli istanti precedenti; ad esempio, la sua forma più semplice è fornita dalla relazione:

$y(n)=\alpha x(n)+(1-\alpha )y(n-1)$

Traducendo in parole la [1], possiamo dire che l’uscita del filtro è pari in ogni istante ad una frazione α dell’ingresso in quell’istante, sommata all’uscita nell’istante precedente moltiplicata per il complemento di α.

Questo meccanismo viene detto ricorsivo, per analogia a quanto avviene in campo informatico, poichè l’uscita all’istante n è funzione dell’uscita all’istante n-1 che a sua volta è funzione dell’uscita all’istante n-2 e così via.

Dalla [1] vediamo che il fattore α ha il ruolo di una costante di tempo poichè ci dice quanto l’uscita nello stato attuale dipenda dall’uscita nello stato precedente e quindi ci sà una stima della velocità con cui varia l’uscita stessa.

Infatti, per α=1 l’uscita dipende solamente dall’ingrsso in quell’istante (costante di tempo nulla), mentre per α=0 l’uscita è sempre uguale a quella nell’istante precedente e quindi non c’è nessuna evoluzione, qualsiasi sia l’ingresso (costante di tempo infinita).

Raramente, tuttavia, ci si servirà di un filtro con una risposta così lenta come quella di un filtro analogico di tipo RC, per cui i filtri digitali hanno senso a partire dal secondo ordine in poi.

La descrizione di un filtro ricorsivo del secondo ordine è fornita dall’espressione:

[2] $y(n)=a_{0}x(n)+a_{1}y(n-1)+a_{2}y(n-2)$

Nella [2], l’uscita nell’istante n è funzione dell’ingresso nello stesso istante e dell’uscita nei due istanti precedenti. Ma l’uscita nei due istanti precedenti era funzione dell’ingresso in quegli istanti e delle uscite nei due istanti ancora precedenti. Portando il discorso al limite, si può concludere che l’uscita ad un certo istante è in qualche modo funzione delle uscite in tutti gli istanti precedenti.

Ragionando in questo modo, possiamo affermare che il filtro ha una risposta all’impulso infinita, da cui il nome di IIR (Infinite Impulse Response).

Funzione di trasferimento discreta di un filtro IIR

La funzione di trasferimento di un filtro IIR del secondo ordine si ottiene, analogamente a quanto visto per i filtri FIR, applicando la trasformata z all’equazione alle differenze finite e cercando poi il rapporto tra uscita e ingresso nel dominio z.

Applicando la trasformata z alla [2], otteniamo:

$Y(z)=a_{0}X(z)+a_{1}Y(z)z^{-1}+a_{2}Y(z)z^{-2}$