Controllo di velocità di un motore in corrente continua (parte 2)

Dopo il primo articolo dedicato al controllo di velocità di un motore in corrente continua, in questa seconda parte vedremo con un certo grado di dettaglio il dimensionamento dei blocchi che compongono la funzione di trasferimento vista nella precedente analisi.

Per comodità, riprendiamo qui sotto lo schema a blocchi già visto:

ove i simboli utilizzati, sono:

V_R: tensione di riferimento, proporzionale al valore di velocità che si vuole ottenere;
V_f: segnale di retroazione, proporzionale al valore effettivo della velocità;
D: segnale differenza, proporzionale al segnale di errore;
V_n: tensione di alimentazione del motore;
Ω: variabile controllata, ovvero la velocità angolare;
G_e(s): funzione di trasferimento dell’amplificatore del segnale D;
G_a(s): funzione di trasferimento dell’amplificatore di potenza;
G_m(s): funzione di trasferimento del sistema controllato, ovvero del motore a corrente continua. E’ la funzione vista sopra;
H(s)=H: funzione di trasferimento del blocco di reazione, rappresentato da un trasduttore in grado di trasformare la velocità angolare in una tensione V_f omogenea al segnale di riferimento V_R;
D_a1, D_a2: disturbi che tendono a modificare le condizioni di funzionamento del sistema controllato.

Funzione di trasferimento del motore

$G_{m}(s)=\frac{\Omega (s)}{V_{n}(s)}=\frac{\frac{1}{K_{E}}}{1+\tau _{m}s+\tau _{m}\tau _{e}s^{2}}$

dove $K_{E}=K\Phi$

Supponiamo che il motore abbia queste caratteristiche:

potenza nominale P_n= 10 kW;
tensione nominale V_n= 220 V;
corrente nominale I_n= 50 A;
resistenza di indotto R_i= 0,33 Ω;
induttanza di indotto L_i= 1 mH;
velocità nominale n= 3000 g/min (ω_n= 314,1 rad/s);
momento di inerzia J= 0,082 Kgm²;
rendimento η= 0,85;

Ricordando che complessivamente il sistema è del secondo ordine, la condizione che assicura l’assenza di oscillazioni nella risposta al gradino, che in questa sede non dimostreremo, è τ_m > 4τ_e.

Determiniamo allora le costanti di tempo meccanica ed elettrica del nostro sistema.

$\tau _{e}=\frac{L_{i}}{R_{i}}=\frac{10^{-3}}{0.33}=3.03$ ms.

Per determinare la costante di tempo meccanica, si deve prima determinare il valore di $K_{E}=K\Phi$ .

In condizioni statiche vale la relazione:
$V_{n}=R_{i}I_{n}+K\Phi \omega _{n}$

da cui si può ottenere
$K_{E}=K\Phi$ = 0,648 Vs/rad.

Ora possiamo calcolare la costante di tempo meccanica:

$\tau _{m}=\frac{R_{i}J}{(K\Phi )^{2}}\approx 64\; ms$

Confrontando i valori trovati, si vede che la condizione τ_m > 4τ_e è largamente verificata.

Scomponendo il denominatore della G_m(s) e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
$\frac{\Omega (s))}{V_{n}(s))}=\frac{\frac{1}{0.648}}{(1+3\cdot 10^{-3}s)(1+64\cdot 10^{-3}s)}$

Il guadagno statico è dunque $(K\Phi )^{-1}=1.54$

Funzione di trasferimento dell’amplificatore di potenza

Si utilizza un ponte trifase semicontrollato. Se si impone che la tensione massima di controllo dei diodi sia V_G= 10 V, il guadagno statico dell’amplificatore di potenza vale:

$K_{a}=\frac{V_{n}}{V_{G}}=\frac{220}{10}= 22$

Se si assume come costante di tempo dell’amplificatore τ_a= 0.01 s, ovvero che vi sia un ritardo di 0.01 s tra l’applicazione del segnale di controllo dei diodi V_G e la variazione della tensione di alimentazione del motore V_n, si ottiene per la funzione di trasferimento dell’amplificatore l’espressione:
$G_{a}(s)=K_{a}\frac{1}{1+\tau _{a}(s)}= 22\: \frac{1}{1+0.01s}$

Funzione di trasferimento della dinamo tachimetrica

Se adottiamo una dinamo con costante di tempo K_t= 0.5 Vs/rad, si ricava che la tensione prodotta alla massima velocità di rotazione prevista del motore, ovvero 314 rad/s, risulta:
$V_{t}=K_{t}\omega _{n}=0.5\cdot 314=157\: V$

Quindi è necessario ridurre la tensione V_t all’uscita della dinamo tachimetrica a un valore V_f dello stesso ordine di frandezza di V_R che si suppone pari a 10 V. A tale scopo utilizziamo un potenziometro con rapporto di partizione:
$\alpha =\frac{V_{f}}{V_{t}}=\frac{10}{157}=0.0637$

dove con V_f si è indicata la tensione di uscita del potenziometro che, confrontata con il segnale di riferimento V_R, genera il segnale differenza D.

In conclusione, la funzione di trasferimento del blocco di retroazione risulta:
$H(s)=H=\alpha K_{t}=0.0637\cdot 0.5=0.0318$

Progetto statico

In assenza di regolazione, la variazione di velocità da vuoto a carico può essere determinata attraverso la relazione:

$\delta =\frac{R_{i}I_{n}}{V_{n}}\: 100=\frac{0.33\cdot 50}{220}\cdot 100=7.5%$

Avendo previsto una precisione minima di regolazione ε=0.1%, il valore minimo del guadagno statico di anello risulta:

$GH=\frac{\delta -\varepsilon }{\varepsilon }=\frac{7.5-0.1}{0.1}=74$

avendo posto $G=G_{e}(0)G_{a}(0)G_{m}(0)=G_{e}K_{a}(K\Phi )^{-1}$ .

Tale valore viene aumentato di solito di un $20\div 30$ %, per cui nel nostro caso si pone GH=100.

Il guadagno del regolatore proporzionale, cioè dell’amplificatore di segnale G_c, risulta dunque:

$G_{c}=\frac{GH}{H\frac{1}{K\Phi }K_{a}}=\frac{100}{0.0318\cdot 1.54\cdot 22}=100$

Lo schema a blocchi del sistema di controllo con le relative funzioni di trasferimento, trascurando l’effetto dei disturbi, è riportato in figura:

Progetto dinamico

Il progetto dinamico comporta la verifica delle condizioni di stabilità del circuito di controllo. Lo schema a blocchi del sistema retroazionato e semplificato, è quello di figura:

dove:

$G(s)=G{_{e}(s)}G{_{a}(s)}G_{m}(s)=\frac{3145}{(1+0.01s)(1+0.003s)(1+0.064s)}$

$H(s)=H=0.0318$

Lo studio della stabilità del sistema si effettua prima di tutto tracciando il diagramma di Bode della funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H per verificare se sia necessario l’inserimento di una rete compensatrice.

Si vede che:

$20\log (GH)=20\log 100=40\: dB$

$\omega _{1}=\frac{1}{0.064}=15.625 rad/s$

$\omega _{2}=\frac{1}{0.01}=100\: rad/s$

$\omega _{3}=\frac{1}{0.003}=333.34\: rad/s$

Dal diagramma del modulo si ricava il valore approssimato della pulsazione di cross-over $\omega _{c}\simeq 326\: rad/s$ .

Per tale pulsazione possiamo calcolare la fase della funzione di trasferimento:

$\varphi(\omega _{c})=-\arctan (0.01\cdot 326)-\arctan (0.064\cdot 326)-\arctan (0.003\cdot 326)\simeq -205^{\circ}$

Quindi, essendo $\varphi(\omega _{c})$ < - 180°, il sistema non è stabile. Sarà necessario ricorrere ad un circuito di compensazione.

Tra le varie possibilità, scegliamo una rete ritardatrice avente funzione di trasferimento:

$G_{c}(s)=\frac{1+\frac{s}{\alpha \omega _{i}}}{1+\frac{s}{\omega _{i}}}$

Volendo ottenere un margine di fase M_φ di circa 45°, calcoliamo la pulsazione alla quale arg[G(jω)H] assume il valore di -3π/4. Poi imporremo che tale risultato sia la nuova pulsazione di cross-over ω’_c

Risolviamo l’equazione:

arg[G(jω)H]=-arctan(0.01ω)-arctan(0.064ω)-arctan(0.003ω)=-3π/4

Si ottiene ω=ω’_c=86.3 rad/s.

Infine dalla relazione:

$\alpha =\frac{1}{H\left | G(j\omega _{c}^{'}) \right |}$

si ricava α=13. Dovendo poi essere αω_i=0.1ω’_c, si ottiene: ω_i=0.66 rad/s.

L’espressione della funzione di trasferimento della rete compensatrice è allora:

$G_{c}(s)=\frac{1+\frac{s}{8.63}}{1+\frac{s}{0.66}}=\frac{1+0.11s}{1+1.5s}}$

La funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema compensato vale allora:

$G_{a}^{'}=G_{c}(s)G(s)H=\frac{100(1+0.116s)}{(1+0.01s)(1+0.003s)(1+0.064s)(1+1.5s)}$

I diagrammi di Bode di quest’ultima funzione risultano quelli in figura:

Si può verificare che alla nuova pulsazione di cross-over ω’_c, la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto compensata vale circa -141°, per cui si ha un margine di fase di circa 39°.

Inconvenienti delle rete di compensazione

Concludiamo segnalando i due principali problemi indotti dalla nostra rete ritardatrice:

poichè la pulsazione di cross-over del sistema compensato è molto inferiore a quella del sistema in assenza di compensazione, $\omega _{c}^{'}\ll \omega _{c}$ , la velocità di risposta del sistema ad anello chiuso sarà minore;
la risposta a un gradino di tensione V_R e la variazione dell’uscita dovuta a un eventuale disturbo a gradino, presenteranno oscillazioni.

La soluzione a questi inconvenienti potrebbe essere il progetto di un regolatore da inserire nel sistema di controllo al posto della rete ritardatrice.