Classificazione e trasformazione dei segnali nel controllo digitale

Campionamento, interpolazione e quantizzazione dei segnali in un sistema di controllo digitale diretto (DDC)

Classificazione e trasformazione dei segnali nel controllo digitale

Con riferimento allo schema di un sistema di controllo digitale diretto (DDC) si può osservare che esso risulta composto, nella maggior parte dei casi, da una parte (attuatore, processo e trasduttore) tempo continua, mentre il regolatore è tempo discreto.

Inoltre, sono presenti segnali di vario tipo, digitali all’interno del regolatore e analogici all’esterno. Compito dell’interfaccia è quello di provvedere alla conversione dei segnali. E’ necessario quindi, caratterizzare in modo matematico queste conversioni di segnale.

Classificazione dei segnali nel tempo

  • Segnale deterministico. E’ rappresentato da una funzione reale di variabile reale nella quale la variabile indipendente è il tempo che verrà indicato con t.
  • Segnali tempo-continui. La variabile indipendente t assume tutti i valori di un insieme continuo, ad esempio l’intero asse reale. L’espressione formale è s=s(t).
  • Segnali tempo-discreti. La variabile t assume valori in un insieme numerabile {tk} ove k è un numero intero. Essi sono rappresentati con s=s(tk) oppure come sequenza temporale {sk}. Nella maggior parte delle applicazioni gli istanti tk distano tra loro di un intervallo fisso T: in tal caso si usa anche la notazione s=s(kT) oppure s=s(k).

Classificazione dei segnali in ampiezza

  • Segnali continui in ampiezza. La variabile dipendente assume tutti i valori in un insieme continuo.
  • Segnali discreti in ampiezza (o quantizzati). La variabile dipendente assume valori in un insieme numerabile che, nella maggioranza dei casi, è finito.

I segnali deterministici possono quindi essere classificati in:

  • Segnali analogici. Segnali continui nel tempo e in ampiezza.Ad esempio l’uscita controllata della catena DDC, l’uscita di un potenziometro ecc.
  • Segnali quantizzati. Segnali tempo continui e discreti in ampiezza, come, ad esempio, i segnali di comando dell’attuatore che sono ottenuti dalla conversione digitale-analogica del dato numerico elaborato dall’algoritmo.
  • Segnali digitali (o numerici). Segnali discreti sia nel tempo che in ampiezza, come, ad esempio, i dati elaborati dall’algoritmo di controllo di un anello DDC.
  • Segnali discreti. Segnali discreti nel tempo e continui in ampiezza. Ad esempio, la frequenza istantanea di un treno di impulsi che vengono generati negli istanti di tempo tk e definita da:
    f(k)=\frac{1}{t_{k}-t_{k-1}}

Trasformazione dei segnali

Le principali conversioni di segnali in un anello DDC sono le seguenti nel dominio del tempo e della ampiezza.

Nel dominio del tempo:

  • campionamento. Da tempo continuo a tempo discreto.
  • interpolazione. Da tempo discreto a tempo continuo.

Nel dominio dell’ampiezza:

  • quantizzazione. Da continuo a discreto in ampiezza.

Il campionamento

Si definisce campionamento ideale l’operazione che trasforma un segnale tempo continuo s=s(t) in segnale tempo discreto s(tk) secondo la:

s(t_{k})=\int_{-\infty }^{+\infty }s(t)\delta (t-t_{k})dt

dove δ(t) è la funzione impulsiva (di Dirac). Il campionamento viene indicato negli schemi a blocchi come un interruttore che si chiude negli istanti tk.

Ideal sampling

Nel caso di discontinuità di s(t) in tk , per convenzione viene considerato il limite destro, cioè:

s(t_{k})=\displaystyle \lim_{t \to t_{k+}}s(t)

Se T=tk-tk-1 è costante, il campionamento viene denominato uniforme e T è il periodo di campionamento. In un anello di regolazione DDC viene effettuato un campionamento del segnale analogico di retroazione (ed eventualmente anche di quello di riferimento) da parte dell’interfaccia di ingresso. Il campionamento caratterizza il controllo digitale rispetto a quello analogico, ed è presente in tutte le elaborazioni digitali dei segnali anche in settori diversi, come ad esempio le telecomunicazioni o le misure digitali.

Interpolazione

La conversione di un segnale a tempo discreto in uno a tempo continuo viene denominata interpolazione e consiste nel fornire un segnale di uscita nell’intervallo di tempo compreso tra due istanti nei quali è definito il segnale di ingresso. Lo schema di interpolatore più semplice è quello che utilizza un interpolatore polinoomiale di ordine zero H0 (zero order holder ZOH o semplicemente holder).

Questo opera secondo la:

y(t)=s(tk) con tk≤t<tk+1 come illustrato nella figura:

zero order holder

Questo tipo di interpolatore è il più usato nei sistemi di controllo DDC e rappresenta l’operazione compiuta dall’interfaccia di uscita dal sistema a µP per convertire il dato elaborato dall’algoritmo in un segnale analogico di comando per l’attuatore. Come si può notare l’uscita viene aggiornata solo in istanti discreti nel tempo.

Un altro schema di interpolazione è quello che ricorre a un interpolatore del primo ordine H1 (detto anche lineare) nel quale il segnale tempo discreto di ingresso s(tk) viene trasformato in quello tempo continuo di uscita y(t) secondo la:

y(t)=m(tk)(t-tk)+s(tk) ove tk≤t<tk+1

dove:

m(t_{k})=\frac{s(t_{k})-s(t_{k-1})}{t_{k}-t_{k-1}}

Interpolatore H1

Un andamento più dolce dell’uscita potrebbe essere ottenuto mediante un interpolatore del primo ordine predittore Hip

Per tk≤t<tk+1

y(t)=s(t_{k})+\frac{s(t_{k+1})-s(t_{k})}{t_{k+1}-t_{k}}t

Interpolatore predittore del primo ordine

ciò implica la conoscenza a tk dell’ingresso a tk+1. Naturalmente ciò non è possibile e, di conseguenza, è necessario ritardare il segnale di un intervallo di campionamento, cioè:

per tk≤t<tk+1

y(t)=s(t_{k-1})+\frac{s(t_{k})-s(t_{k-1})}{t_{k}-t_{k-1}}t

Quantizzazione

Si definisce quantizzazione il processo di discretizzazione dell’ampiezza di un segnale (continuo o discreto nel tempo). Ciò corrsiponde a una operazione non lineare sul segnale di ingresso che, per i cosiddetti quantizzatori lineari, può essere rappresentata dalla seguente caratteristica:

Quantizzazione

ovvero:

Q[s]=n per (n-\frac{1}{2})q\leq s< (n+\frac{1}{2})q

dove n è un numero intero e q viene definito passo di quantizzazione o quanto. L’uscita di un quantizzatore è quindi una misura numerica dell’ingresso espressa, in un opportuno codice, come multipla dell’unità di misura rappresentata dal quanto q. Un esempio di quantizzatore è quello di un encoder di tipo assoluto, nel quale l’uscita è un numero binario, generalmente in codice Gray o binario riflesso, che indica di quanti angoli elementari (quanti) il disco ha ruotato rispetto a una prefissata posizione di zero.

In un sistema DDC l’operazione di quantizzazione è presente nell’interfaccia di ingresso per i segnali di controreazione analogici, ed eventualmente anche per quelli di riferimento.

In conclusione

Sulla base delle definizioni dei segnali e delle loro trasformazioni è possibile tracciare il seguente diagramma che indica le trasformazioni che legano i vari tipi di segnale.

Trasformazioni tra i segnali

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Sysadmin & network eng. @Epysoft, editor @TheTechGoggler, CTO @HDEMO. Ex Developer @MSFT, @GOOG. Ex Marketing Ops @XRX @HPQ. LinkedIn: it.linkedin.com/in/carlobazzo